【知识点详解】
1. **一元二次方程的解法**：题目中出现了一元二次方程 `x^2 - 2 = 0`，它的解是 `x = 2` 和 `x = -2`，这涉及到一元二次方程的求解，即通过直接开平方或使用求根公式 `x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)` 来找到根。
2. **比例关系**：第二题涉及到比例关系的延伸， `(x + y):y` 的值可以通过比例关系进行计算，这里是将 `x` 和 `y` 的比例 `2:3` 应用于 `(x + y)`。
3. **抛物线平移**：第三题考察了抛物线的平移规则。原抛物线 `y = -2x^2` 向右平移2个单位后的解析式为 `y = -2(x - 2)^2`，这说明了抛物线的平移规律，即对于函数 `y = ax^2 + bx + c`，向右平移h个单位，解析式变为 `y = a(x - h)^2 + b(x - h) + c`。
4. **一元二次方程根的存在性**：第四题给出了方程 `2x^2 + (2k)x + k = 0` 有两个不相等实数根的条件，这需要判别式 `b^2 - 4ac > 0`，由此求解出 `k` 的取值范围。
5. **概率问题**：第五题是组合概率问题，小明从两双不同的运动鞋中随机拿两只，恰好配成一双的概率可以通过计算组合数来确定。
6. **圆的性质与命题判断**：第六题涉及圆的性质，如直径是最长的弦，三角形的内心到三角形各边的距离相等等，以及弦与弧的关系。需要判断这些命题的正确性。
7. **二次函数的性质**：第七题通过给出二次函数的部分对应值，要求判断其开口方向、对称轴位置以及根的位置。
8. **二次函数顶点坐标**：第九题要求找到二次函数 `y = x^2 + 6x + 5` 的顶点坐标，可以通过配方或者使用公式 `-b / (2a)` 得到。
9. **比例尺应用**：第十题用比例尺计算实际长度，需要将图上的长度乘以比例尺。
10. **圆周角与圆心角的关系**：第十一题中，圆周角等于圆心角的一半，所以可以计算出圆周角的度数。
11. **二次函数根的性质**：第十二题根据二次函数的根与系数的关系，可以由已知的根推导出二次方程的形式。
12. **坐标几何中的圆**：第十三题要求找出经过格点的圆心坐标，这需要利用圆的定义和点的坐标。
13. **垂径定理**：第十四题中，求圆心到弦的距离，利用垂径定理可以得出答案。
14. **三角形的内切圆**：第十五题涉及内切圆与三角形的关系，利用内切圆的性质可以求得AB的长度。
15. **平均数的性质**：第十七题中，一组数据的平均数变化规律，通过加减相同的数，平均数也会做相应的加减。
16. **圆锥的侧面积与底面半径**：第二十题要求计算圆锥的底面半径，需要用到扇形面积与圆锥侧面积的关系。
17. **方程求解**：第二十一题要求确定方程 `x^2 + 4x + 1 = 0` 有两个实数根时 `m` 的取值，需要利用判别式。
这些知识点涵盖了初中数学的重要概念，包括代数、几何、概率统计等多个领域，是九年级学生需要掌握的基础知识。
