### 平面向量中的线性问题解析
#### 一、平面向量的线性运算及其应用
平面向量是高考数学中的一个重要考点，它既包含了代数运算的特点，也涉及到了几何图形的理解，因此在考试中占据了一席之地。本节主要讲解平面向量的线性运算以及其在具体题目中的应用。
**例题1（1）** 考查了向量的线性组合。题目给出的是一个三角形ABC，并设定了一点D，使得BC=3CD。需要判断AD与AB、AC之间的关系。
根据题目中的条件，可以将AD表示为AB和AC的线性组合：
\[ BC = 3CD \]
\[\Rightarrow AD - BD = 3(AD - CD) \]
\[\Rightarrow AD - (-BC) = 3(AD + DC) \]
\[\Rightarrow AD + BC = 3(AD - DC) \]
\[\Rightarrow AD + 3CD = 3AD - 3DC \]
\[\Rightarrow 3CD + 3DC = 2AD \]
\[\Rightarrow 3(2CD) = 2AD \]
\[\Rightarrow 3BC = 2AD \]
\[\Rightarrow AD = \frac{3}{2}BC \]
考虑到BC可以用AB和AC表示，即\(BC = AC - AB\)，代入上式得：
\[ AD = \frac{3}{2}(AC - AB) = \frac{3}{2}AC - \frac{3}{2}AB \]
所以正确的选项是 **A. AD＝－AB＋AC**。
**例题1（2）** 给出了一个三角形ABC，其中D和F分别是AB和AC的中点，BF与CD相交于点O。需要求出向量AO的表达式。
根据题目中的条件，可以利用向量的中点公式来解决此题。
\[ AB = a, AC = b \]
由于D和F分别是AB和AC的中点，所以有：
\[ AD = \frac{1}{2}a, AF = \frac{1}{2}b \]
由于O是BF和CD的交点，可以通过比例关系求解。考虑到O位于CD线上，可以假设：
\[ AO = x AD + (1-x)AF \]
代入AD和AF的表达式得到：
\[ AO = x \cdot \frac{1}{2}a + (1-x) \cdot \frac{1}{2}b \]
\[ AO = \frac{x}{2}a + \frac{1-x}{2}b \]
**点评**：
1. 在处理向量问题时，需要注意三角形法则和平行四边形法则的应用条件，这有助于我们快速找到解决问题的方法。
2. 对于三点共线的问题，可以通过向量共线来解决，但需要注意向量共线与三点共线的区别与联系。
3. 当涉及到OA、OB、OC三个向量时，如果A、B、C三点共线，则存在实数λ和μ使得\(OA = λOB + μOC\)，且\(λ + μ = 1\)。
#### 二、平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算涉及到向量的加法、减法、数乘等运算。通过向量的坐标运算，我们可以更加直观地理解和解决几何问题。
**例题2（1）** 提供了两个向量\(a = (2,1)\), \(b = (1,-2)\)，并给出了一个线性组合\(ma + nb = (9,-8)\)。要求解m和n的值，进而求解\(2m-n\)的值。
根据题目条件，可以列出方程组：
\[ m(2,1) + n(1,-2) = (9,-8) \]
\[ \Rightarrow (2m+n, m-2n) = (9,-8) \]
解这个方程组得到：
\[ 2m + n = 9 \]
\[ m - 2n = -8 \]
解得\(m = 3, n = 3\)，所以\(2m - n = 3\)。
**例题2（2）** 给定了三个向量\(a = (3,2)\), \(b = (-1,2)\), \(c = (4,1)\)。需要完成以下任务：
1. 解方程组\(a = mb + nc\)，求m和n；
2. 若\(a + kc\)与\(2b - a\)平行，求k；
3. 若\(d - c\)与\(a + b\)平行，且\(|d - c| = \sqrt{10}\)，求d。
对于第一问，可以将方程写成坐标形式：
\[ (3,2) = m(-1,2) + n(4,1) \]
\[ \Rightarrow (3,2) = (-m+4n, 2m+n) \]
解方程组得\(m = 1, n = 1\)。
对于第二问，利用向量平行的条件，设\(a + kc = \lambda(2b - a)\)，解得\(k = -2\)。
对于第三问，由于\(d - c\)与\(a + b\)平行，可以设\(d - c = \lambda(a + b)\)，并且\(|d - c| = \sqrt{10}\)。通过这些条件可以解出d的具体坐标。
**总结**：平面向量的线性运算与坐标运算在高考数学中占据了重要的地位，考生需要熟练掌握向量的线性组合、向量的坐标运算以及相关的几何性质，这样才能在考试中游刃有余。
