浙江省江山实验中学高中数学 1.3.3函数的奇偶性课件 新人教A版必修3

【函数的奇偶性】是高中数学中的一个重要概念，它主要涉及函数的性质和图象特征。函数的奇偶性是函数的一种基本属性，能够帮助我们理解和研究函数的行为。 1. **奇函数**的定义是：对于定义域内的任意一个**x**，都有**f(-x) = -f(x)**，这表明函数的值在**x**和**-x**处是相反的。奇函数的图象通常关于原点**O(0,0)**对称。例如，函数**f(x) = x**是一个典型的奇函数，因为**f(-x) = -x = -f(x)**。 2. **偶函数**的定义是：对于定义域内的任意一个**x**，都有**f(-x) = f(x)**，这意味着函数的值在**x**和**-x**处是相等的。偶函数的图象则关于y轴对称。例如，函数**f(x) = x^2**是一个典型的偶函数，因为**f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)**。 3. 奇函数和偶函数的性质包括： - 两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数。 - 两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数。 - 一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数。 - 奇函数关于原点对称，且在其对称区间上具有相同的单调性。 - 偶函数关于y轴对称，且在其对称区间上具有相反的单调性。 4. 判断函数的奇偶性，首先要看其定义域是否关于原点对称。如果定义域不对称，那么该函数就不可能是奇函数或偶函数。应用奇偶性的定义来验证**f(-x)**与**f(x)**的关系。 5. 当函数**f(x)**同时满足**f(-x) = f(x)**和**f(-x) = -f(x)**时，函数即是奇函数也是偶函数，这样的函数非常特殊，通常不存在。如果函数既不满足奇函数也不满足偶函数的定义，则是非奇非偶函数。 6. 在实际问题中，利用函数的奇偶性可以帮助我们简化计算，例如在求解某些函数的值或分析函数的性质时。例如，如果知道一个函数是偶函数，那么我们只需要在某个区间研究它的性质，因为其他对称区间上的性质可以通过对称性推导出来。 7. 在解决涉及函数奇偶性的实际问题时，还需要结合其他数学思想方法，如数形结合（通过函数图象直观理解性质）和转化与化归（将复杂问题转化为简单问题进行处理）。 函数的奇偶性是高中数学中理解函数行为的关键工具，通过深入学习和练习，可以提高分析和解决问题的能力，增强对函数内在对称美的感知。在具体应用中，一定要先确定函数的定义域是否具备奇偶性存在的前提，然后利用定义进行判断，最终得出函数的奇偶性。