在高中数学的学习中，函数的单调性是一个至关重要的概念，它可以帮助我们理解函数的变化规律，进一步分析和解决问题。本节课我们将深入探讨新人教A版必修1中的2.1.3章节——函数的单调性（一）。
我们要了解什么是函数的单调性。如果一个函数在其定义域内，随着自变量的增加，函数值也总是递增或递减，那么我们就说这个函数是单调的。具体来说，分为单调递增和单调递减两种情况。递增函数是指对于定义域内的任意两个自变量x1和x2，当x1 < x2时，总有f(x1) ≤ f(x2)；而递减函数则是在x1 < x2的情况下，f(x1) ≥ f(x2)。
在例1中，我们需要证明函数f(x) = 1/(2 + x)在区间(-∞, -2)和(-2, +∞)上是增函数。通常，证明函数单调性的基本步骤如下：
1. 明确定义域。
2. 设定两个自变量x1和x2，且x1 < x2。
3. 比较f(x1)和f(x2)的大小关系。
4. 根据比较结果判断函数是单调递增还是单调递减。
对于例2，我们需要证明函数f(x) = 1/x在区间(-∞, 0)和(0, +∞)上分别是减函数。这同样可以通过定义法进行证明，即比较x1和x2对应的函数值，证明f(x1) > f(x2)或f(x1) < f(x2)。
例3涉及到的是画出函数图象并确定单调区间。对于函数y = 1/x和y = x^2 - 1，我们可以先通过观察解析式来预测图象形状，然后通过描点法或利用图形软件绘制图象。图象的上升部分对应着函数的增区间，下降部分对应着减区间。
在学习过程中，除了定义法外，我们还可以使用图像法来判断函数的单调性。通过观察函数图象的上升和下降趋势，可以直观地确定单调区间。
在课程的反思与小结环节，我们总结了两种主要的函数单调性判断方法：定义法和图像法。定义法是通过比较函数值来证明，而图像法则更直观，适用于直观性强的函数。
在达标检测中，我们需要应用所学知识证明函数y = x^2 + 6/x在区间[3, +∞)上是增函数，并绘制函数y = |1 - x^2|的图象，同时标注其单调区间。对于第一个函数，我们可以按照证明单调性的步骤进行操作；对于第二个函数，需要先分析其结构，确定奇偶性和对称性，然后画出图象，再确定单调区间。
通过以上分析，我们不仅掌握了如何证明函数的单调性，还了解了如何通过图象来理解和判断单调性，这将对解决后续的数学问题起到关键作用。在实际解题中，结合不同的方法和技巧，可以更高效地解决问题。
