江西省九江市实验中学高中数学 不等式的证明方法之三 反证法教案（无答案）新人教A版选修4-5

在高中数学教学过程中，我们经常遇到需要证明不等式的问题。证明不等式是培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力的重要环节。针对这一需求，江西省九江市实验中学设计了一份关于不等式证明方法的教案，特别关注反证法，这是一种通过假设结论的否定来证明原结论成立的方法。该教案是新人教A版选修4-5的一部分，面向高中数学教师和学生。 反证法的运用需要学生掌握其基本思想。它由四个步骤组成：第一步是明确不等式中涉及的条件和结论；第二步是假设结论的反面成立；第三步是基于已知条件和反面假设进行逻辑推理；第四步是推导出矛盾，从而证明原结论的正确性。在这一过程中，关键是要找到与假设相矛盾的逻辑点，这是反证法的核心。 通过教案中的实例，学生可以更直观地理解反证法的运用。例如，第一个案例要求证明对于任意正整数n大于1，若0<a<b，则n√b/n > a。在这个案例中，学生需要假设n√b/n ≤ a，并试图通过逻辑推理找出矛盾。通过反证法，我们得出n√b/n ≤ a的假设是错误的，因此可以得出原不等式成立的结论。 另一个案例展示了二次函数的性质。题目要求证明三个函数值中至少有一个不小于21。我们假设所有函数值都小于21，然后利用绝对值的性质推导矛盾，从而证实原命题。 在反证法的运用中，寻找矛盾的过程至关重要。这个过程通常会涉及已知的公理、定义、定理或者已经证明的不等式。例如，在第三个案例中，假设(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a都大于4/1，通过一系列逻辑推理，最终发现它们的乘积与已知条件相矛盾，从而得出结论。 此外，反证法还可以用来证明变量的正负性。在第四个案例中，假设变量a, b, c中的至少一个为负，然后根据条件推导出与已知条件矛盾的结果，从而证明a, b, c都为正。 在教学实践中，教师应该向学生强调反证法的适用性和有效性。反证法不仅适用于直接证明困难的问题，而且在解决涉及多个变量或条件的复杂不等式时，能够提供清晰的逻辑路径。通过大量的练习和实例讲解，学生将能够深入理解反证法的原理和应用，并将其作为解决数学问题的有力工具。 反证法是高中数学教学中不可或缺的一部分，通过这份教案的学习，学生不仅能够掌握反证法这一证明不等式的策略，还能够提高他们的逻辑思维能力和解决复杂数学问题的技能。教师在教授过程中应注重引导学生探索反证法的思路，通过不断的练习和反馈，帮助学生在数学学习的道路上越走越远。