陕西省榆林市榆林育才中学高中数学 平面间的夹角导学案 北师大版选修2-1

在高中数学的学习中，平面间的夹角是一个重要的概念，尤其在北师大版选修2-1中。这个知识点涉及到平面几何与向量法的结合，对于理解和解决三维空间中的几何问题至关重要。以下是对该主题的详细阐述： 1. 平面与平面的夹角： 平面与平面之间的夹角并不是直接可见的，它是由两个平面的法向量之间的夹角所决定的。法向量是垂直于平面的非零向量，代表了平面的方向。两个平面的夹角范围是从0到90度，或者用弧度表示，从0到π/2。 2. 二面角定义： 二面角是从一条直线出发的两个半平面所成的角，这条直线称为二面角的棱，两个半平面是二面角的两个面。二面角可以是锐角、直角或钝角。 3. 法向量求夹角： - 当两个平面的法向量的夹角θ在0到π之间时，平面1与平面2的夹角α等于θ。 - 如果两个法向量的夹角θ大于π/2，那么平面1与平面2的夹角α等于π-θ。 - 通过计算法向量之间的点积，可以得到它们的夹角余弦值，公式为：cosθ = |n1·n2| / (|n1|*|n2|)，其中n1和n2分别为两个平面的法向量。 4. 向量法求平面夹角： - 已知两个平面的法向量n1和n2，平面1与平面2的夹角α的余弦值可以通过法向量的点积来计算，即cosα = n1·n2 / (|n1|*|n2|)。 - 如果给出了平面的边或顶点的信息，可以通过构建向量并寻找它们的法向量来求解夹角。 5. 几何法求夹角： - 几何法通常涉及实际的空间图形，通过作图和分析图形来找出平面间的夹角。 - 在某些情况下，可以通过构造辅助线，比如找到平行线或垂直线，来简化问题并找到夹角。 6. 实际应用： - 解决实际问题时，例如在四棱锥P-ABCD的问题中，需要找到特定的二面角的余弦值，这通常需要分析棱锥的性质，如平行、垂直关系，并利用法向量进行计算。 7. 例题解析： - 例题1涉及长方体中找到一个二面角的正弦值，需要利用中点、对称性以及长方体的性质来构建向量表达式。 - 例题2中，四棱锥的底面为直角梯形，需要考虑PA与底面的垂直关系，以及PB和MC的关系，通过向量法求解二面角的余弦值。 总结，理解平面间的夹角，包括其概念、法向量的作用和求解方法，是高中数学中一项基础但关键的技能。掌握这些知识，学生将能够解决涉及多个平面相互关系的复杂几何问题。通过练习典型例题和动手尝试，可以进一步巩固和提高这一能力。