【对数函数的基础概念】对数函数是一种基本的数学函数，通常表示为 \( y = \log_a{x} \)，其中 \( a \) 是一个正数且 \( a \neq 1 \)。对数函数是对指数函数 \( y = a^x \) 的逆运算，它揭示了指数关系中的指数值。例如，如果 \( y = a^x \)，那么 \( x = \log_a{y} \)。
【对数函数的图像性质】
1. 当 \( a > 1 \) 时，对数函数 \( y = \log_a{x} \) 是单调递增的。图像从左下方向右上方延伸，随着 \( x \) 增大，\( y \) 也增大。
2. 当 \( 0 < a < 1 \) 时，对数函数 \( y = \log_a{x} \) 是单调递减的。图像从左上方向右下方延伸，随着 \( x \) 增大，\( y \) 减小。
3. 对数函数的图像在 \( x = 1 \) 处与 \( x \) 轴相交，即 \( \log_a{1} = 0 \)。
4. 图像的斜率取决于底数 \( a \)。当 \( a \) 增大，图像会更靠近 \( y \) 轴，反之则远离 \( y \) 轴。
【对数函数的应用】
1. 对数函数常用于解决涉及指数关系的实际问题，如计算增长率、音量变化、化学反应速率等。
2. 对数函数也是科学计算器中不可或缺的部分，它们可以帮助简化复杂的计算。
【题目解析】
题目中的问题涉及到对数函数的图像和性质。例如，第 1 题通过分析对数函数的单调性和 \( y \) 轴截距来判断图像可能的形式；第 2 题利用对数函数 \( y = \log_a{x} \) 恒过定点 (1,0) 的特性找到函数 \( y = \log_a(2x-1) \) 的固定点；第 3 题根据对数函数的单调性及图像的位置来确定底数 \( a \) 的大小关系；第 4 题比较不同对数表达式的值，利用对数函数的单调性比较大小。
【对数函数的增减性】
1. 如果底数 \( a > 1 \)，对数函数 \( y = \log_a{x} \) 在定义域内单调递增。
2. 如果底数 \( 0 < a < 1 \)，对数函数 \( y = \log_a{x} \) 在定义域内单调递减。
【对数函数的定义域和值域】
1. 对数函数 \( y = \log_a{x} \) 的定义域为 \( (0, +\infty) \)，因为对数函数只对正实数有效。
2. 对数函数的值域为所有实数，因为 \( x \) 可以取任何正实数，从而 \( y \) 可以取任何实数值。
【函数的单调性证明】
证明一个对数函数在某区间上单调递增或递减，通常可以通过比较函数值的变化来完成。例如，证明 \( f(x) = \log_a{(x-1)} \) 在定义域上单调递增，可以设定两个自变量的值 \( x_1 < x_2 \)，然后比较 \( f(x_1) \) 和 \( f(x_2) \)，证明 \( f(x_1) < f(x_2) \)。
对数函数是高中数学中的核心概念，理解和掌握其图像和性质对于解决相关问题至关重要。在实际应用中，对数函数经常被用来简化计算，分析函数的性质，并在各种科学领域中发挥重要作用。通过做相关的练习题，可以加深对这些概念的理解并提高解题能力。
