【知识点详解】
1. **三角函数的值域**：在第一道选择题中，讨论了函数 $y = \tan(\sin x)$ 的值域。由于 $\sin x$ 的取值范围是 $[-1, 1]$，而正切函数 $\tan x$ 在区间 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内单调递增，因此 $\tan(\sin x)$ 的最小值发生在 $\sin x = -1$，即 $y_{\text{min}} = \tan(-1) = -\tan(1)$，最大值发生在 $\sin x = 1$，即 $y_{\text{max}} = \tan(1)$。因此，值域为 $[-\tan(1), \tan(1)]$。
2. **三角函数图像的变换**：第二题涉及的是三角函数图像的平移和伸缩变换。函数 $y = \sin(\frac{x}{2})$ 的图像横坐标伸长到原来的2倍，即得到 $y = \sin(x)$，然后再将这个图像向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位，得到 $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$。
3. **三角函数的单调性**：第三题考察了函数 $f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ 在给定区间的单调性。利用三角函数的单调性，我们需要找到满足 $2k\pi - \frac{\pi}{2} \leq 2x - \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ 的 $x$ 的区间，从而得出单调递增区间。
4. **三角函数的解析式确定**：第四题通过三角函数图像的一部分来确定函数解析式。由图像得知振幅 $A=2$，周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}=4$，所以 $\omega=2$，通过一个峰值的位置可以确定相位 $\phi$，从而得出解析式 $y=2\sin(2x+\phi)$。
5. **周期函数与实际问题的结合**：第五题描述了一个质点在圆周上的运动，其中质点到$x$轴距离 $d$ 关于时间 $t$ 的函数图像。根据角速度和初始位置，我们可以计算出 $d$ 与 $t$ 的关系，最终确定 $d(t)$ 的表达式，并据此判断函数图像。
6. **三角函数的定义域**：第六题要求的是函数 $y = \tan(2x-\frac{\pi}{3})$ 的定义域，需排除 $2x-\frac{\pi}{3}$ 在正切函数的渐近线上的值，即 $2x-\frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$，解得 $x$ 的值，得到定义域。
7. **三角函数周期的计算**：第七题中，根据正弦函数图像的周期性，由半个周期确定完整的周期，从而求得 $\omega$ 的值。
8. **三角函数图像的平移等效**：第八题涉及到函数 $f(x) = \sin(\omega x + \phi)$ 的图像平移。如果向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 和向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 后的图像重合，那么 $\omega$ 必须满足某种周期性关系，从而找出最小的 $\omega$ 值。
9. **三角函数的最值与单调性**：第九题中，函数 $f(x) = 2\sin(x+\frac{\pi}{6})+1$ 的最大值在 $2x+\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ 时取得，即 $x = k\pi + \frac{\pi}{6}$，最大值为 $3$。函数的单调递增区间为 $2k\pi - \frac{\pi}{2} \leq 2x+\frac{\pi}{6} \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2}$，解出 $x$ 的区间即可。
10. **三角函数图像的构造**：第十题要求通过基本三角函数 $y = \sin x$ 逐步变换得到给定的图像。函数图像向左平移，然后是周期的压缩，接着是振幅的变化，最后是图像的上下平移。
11. **三角函数的性质**：最后两题考查了三角函数的性质，包括周期性、对称性、单调性。题目要求找出同时满足特定条件的函数，通过对每个选项的分析，我们可以确定符合这些性质的函数。
以上是对给定文件中涉及的高中数学知识点的详细解释，涵盖了三角函数的值域、图像变换、单调性、解析式确定以及与实际问题的结合等多个方面。
