河北省石家庄市高中数学 2.3 幂函数学案 北师大版必修1

幂函数是高中数学中的一个重要概念，它涉及到函数的基本性质、图像分析以及函数比较等多个知识点。在北师大版必修1的2.3章节中，主要讲解了幂函数的定义、图像特征及其性质。 幂函数是由变量的幂构成的一类函数，如常见的形如y = x^n的形式。在问题1中，通过正方形面积、立方体体积等实例，展示了不同幂次的变量如何构成幂函数。问题2指出，判断一个函数是否为幂函数的关键在于其是否可以写成x的某个实数次幂的形式。 探究1中，给出了几个幂函数的例子，如y = x^2、y = x^3等，通过这些函数，我们可以发现幂函数的一个显著特征：当底数为正实数时，函数总是连续的，且在实数域上有定义。同时，函数的定义域通常为所有实数R，而值域则依赖于幂次n。 探究2中，通过观察不同幂函数的图像，如y = x^1/2、y = x^2、y = x^3、y = x^4、y = x^(-1)等，我们能够总结出幂函数的一些基本性质： 1. 定义域：对于正整数幂，定义域为全体实数；对于负整数和零次幂，定义域排除0；对于分数幂，定义域通常排除负数。 2. 值域：值域与幂次有关，如偶数次幂函数值域总是非负，奇数次幂函数值域包含整个实数集。 3. 奇偶性：偶数次幂函数为偶函数，奇数次幂函数为奇函数。 4. 单调性：正指数幂函数在(0, +∞)上单调，负指数幂函数在(0, +∞)上单调递减，0次幂函数在非零区间单调。 例1和例2展示了如何分析和比较幂函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性，以及如何通过图象进行函数大小的比较。 拓展提升部分，强调了幂函数在第一象限内的图像规律，即指数越大，图像越靠近x轴；反之，指数越小，图像越靠近y轴。在轴和直线之间，幂函数的图像变化则相反。 当堂检测的题目进一步检验了学生对幂函数定义域、单调性、奇偶性的理解和掌握，以及函数大小的比较能力。 知识的归纳总结部分，学生应能够整理出幂函数的主要特点，包括定义、图象特征、性质以及如何应用这些知识解决问题。 通过以上学习，学生不仅理解了幂函数的基本概念，还掌握了通过图象分析函数性质的方法，为进一步学习其他类型的函数奠定了基础。