2016届高三数学纠错练习三
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【填空题】 1. 射击选手射击成绩的平均数是10,五枪成绩为9.7,9.9,x,y,10.1。平均数的计算公式是所有数值之和除以数量,即 \( \frac{9.7 + 9.9 + x + y + 10.1}{5} = 10 \),化简得到 \( x + y = 10 \)。 2. 函数 \( f(x) = 3\cos x + \sin x + ax + bx + cx \) 在区间 [a, c] 上为奇函数,奇函数满足 \( f(-x) = -f(x) \)。代入 \( x = 0 \) 得到 \( f(0) = 0 \),所以 \( a + b + c = 0 \)。 3. 函数 \( y = f(x) \) 在点 (2, 3) 处的切线斜率为 \( k \),由题意得 \( k = -3 \)。函数 \( g(x) = x f(x) \) 在点 (2, g(2)) 处的切线斜率是 \( g'(2) \),根据乘积法则,\( g'(x) = f(x) + xf'(x) \),所以 \( g'(2) = f(2) - 3 \),即 \( g'(2) = 0 \)。因此,\( g(x) \) 在点 (2, g(2)) 处的切线方程为 \( y - g(2) = 0(x - 2) \),即 \( y = 6 \)。 4. 函数 \( f(x) = \frac{1}{2}x^2 + ax \) 的最大值在 R 上为 12,因为这是二次函数,最大值只可能在顶点处取得。对称轴 \( x = -\frac{a}{2} \),最大值 \( f(-\frac{a}{2}) = \frac{1}{2}(-\frac{a}{2})^2 + a(-\frac{a}{2}) = 12 \),解得 \( a = -4 \)。 5. 函数 \( f(x) = \begin{cases} 3x^3, & x < 0 \\ 2, & 0 \leq x \leq 3 \\ 3x^3 - 3, & x > 3 \end{cases} \),当 \( a, b, c \) 两两不等时,\( f(a) = f(b) = f(c) \)。若 \( a < 0 \),则 \( b, c \in [0, 3] \),反之若 \( a \in [0, 3] \),则 \( b, c \) 分别在 \( (-\infty, 0) \) 和 \( (3, +\infty) \)。abc的取值范围需考虑不同情况下的交集。 6. 函数 \( f(x) = \frac{2}{e^x - a} \) 在 \( x = 2 \) 取极大值,意味着 \( f'(2) = 0 \)。求导得 \( f'(x) = -\frac{2e^x}{(e^x - a)^2} \),将 \( x = 2 \) 代入得 \( -\frac{2e^2}{(e^2 - a)^2} = 0 \),解得 \( a = e \)。 7. 已知 \( \sin(\theta) + \cos(\theta) = 4 \),平方得 \( 1 + 2\sin(\theta)\cos(\theta) = 16 \),即 \( \sin(2\theta) = 15 \)。但 \( \sin(2\theta) \) 的最大值为1,故有矛盾,该问题可能有误。 8. 函数 \( f(x) = \ln(kx) \),其中 \( x \) 从0到正无穷,若 \( f(x) = -1 \) 有三个不同解,那么 \( k \) 的取值范围为 \( (e^{-1}, e^0) \),即 \( (1/e, 1) \)。 9. 对于向量 \( \overrightarrow{PA} \) 和 \( \overrightarrow{PB} \),其模长分别为1和1,且 \( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2 \),说明 \( P \) 是线段 \( AB \) 上的一个点,其距离 \( A \) 或 \( B \) 为1。所以 \( |\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}| \) 的最大值是 \( AB \) 的长度,即2。 10. 函数 \( f(x) = x^2 - ax + a \) 在区间 (0, 3) 内有两个不相等的零点,要求 \( f(0) > 0 \) 且 \( f(3) > 0 \),同时 \( f(x) \) 的判别式大于0,解得 \( a \) 的范围是 \( 4 < a < 9 \)。 【解答题】 11. (1) 设 \( f(x) = ax^2 + bx + c \),由 \( x_1, x_2 \) 是极值点,得 \( f'(x_1) = f'(x_2) = 0 \)。代入 \( x_1 = 1, x_2 = 2 \),以及 \( f(1) = 2 \),解得 \( a = -1, b = 3, c = 2 \),所以 \( f(x) = -x^2 + 3x + 2 \)。 (2) 若 \( |x_1| = |x_2| \),即 \( x_1 = \pm x_2 \),由 \( f''(x) = 2a \) 可知 \( a < 0 \),此时 \( b \) 最大值为 \( b_{max} = \frac{-a}{2} \)。 12. (1)利用相似三角形原理,可以得出 \( BC \) 的长度为 \( \frac{15}{9}\cdot 9 = 15 \) cm。 (2)设 \( P \) 点到 \( C \) 点的距离为 \( h \),则 \( \angle DCP = \angle BAP \)。要使 \( \alpha + \beta \) 最小,\( P \) 应位于 \( BC \) 的垂直平分线上,此时 \( \alpha = \beta \),最小值为 \( 2\angle CAD = 2 \times 45^\circ = 90^\circ \)。 这些题目涵盖了高中数学中的多项式函数、三角函数、对数函数、极值问题、向量几何、解析几何等多个知识点,旨在帮助高三学生进行复习和错误修正。通过这些练习,学生可以巩固基础,提升解题能力。
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