【知识点详解】
本文主要涉及的是九年级数学下册第26章关于二次函数的内容，特别是二次函数的图象与性质。以下是对相关知识点的详细解释：
1. **二次函数的标准形式**：二次函数通常表示为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，$a$ 不等于 0。这个形式揭示了函数的图象是一个抛物线。
2. **配方法**：通过配方法可以将一般形式的二次函数转化为顶点形式 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线的顶点坐标。例如，将 $y = x^2 - 8x - 9$ 通过配方化简为 $y = (x - 4)^2 - 25$，表明顶点坐标是 $(4, -25)$。
3. **二次函数的性质**：
- 开口方向：由 $a$ 的符号决定，如果 $a > 0$，则开口向上；如果 $a < 0$，则开口向下。
- 对称轴：二次函数的对称轴是直线 $x = -\frac{b}{2a}$。
- 顶点坐标：可以通过公式 $(h, k) = \left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right)$ 计算得出。
- 与 $x$ 轴的交点：解方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 可得交点坐标。
4. **二次函数图象的平移**：
- 当函数形式为 $y = ax^2 + bx + c$ 时，可以通过改变 $a$、$b$ 和 $c$ 来平移图象。比如，$y = (x-h)^2 + k$ 表示向右（左）平移 $|h|$ 个单位，向上（下）平移 $|k|$ 个单位。
5. **顶点坐标的应用**：
- 例如题目中的第2题和第3题，要求找到抛物线 $y = x^2 - 2x + 2$ 和 $y = x^2 - 2x + m^2 + 2$ 的顶点坐标，可以通过公式计算得到。
- 第5题考察了两个函数图象的组合，需要根据函数的形式判断它们可能的组合方式。
6. **二次函数的增减性**：
- 对于 $y = ax^2 + bx + c$，当 $x$ 大于对称轴时，如果 $a > 0$，函数值随着 $x$ 增大而增大；如果 $a < 0$，则函数值随着 $x$ 增大而减小。
7. **二次函数的解析式变换**：
- 第7题中，给定的抛物线 $y = x^2 - 6x + 5$ 经过平移后的解析式可以通过坐标变换得到，例如向上平移2个单位，向右平移1个单位，新的解析式为 $y = (x - 1)^2 - 2$。
8. **顶点式与标准式的转化**：
- 如第8题，要求将 $y = x^2 - 4x + 3$ 转化为顶点式，并确定顶点坐标和对称轴。
9. **二次函数经过原点的条件**：
- 如果二次函数 $y = a(x - h)^2 + k$ 经过原点 $(0, 0)$，则 $h = 0$ 且 $k = 0$，因此，$y = ax^2$。
10. **函数图象的平移**：
- 第10题中，通过比较 $y = x^2 + x - 1$ 和 $y = x^2$ 的差异，可以推断出前者的图象是如何从后者的图象平移得到的。
11. **二次函数的单调性**：
- 第11题讨论了 $y = mx^2 - 2x + 1$ 的单调性，当 $x < \frac{1}{m}$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小，这取决于 $m$ 的符号和 $\frac{1}{m}$ 的位置。
12. **二次函数上点的比较**：
- 在抛物线 $y = x^2 - 2x + 1$ 上，由于对称轴是 $x = 1$，点 $A(2, y_1)$ 和 $B(3, y_2)$ 都在对称轴右边，因为 $a = 1$ 所以函数在对称轴右边是增函数，所以 $y_1 < y_2$。
13. **平移的逆过程**：
- 第13题中，通过平移规律，可以逆推出 $b$ 的值。
14. **抛物线的图象与性质**：
- 对于 $y = -x^2 + 2x + 2$，需要找到对称轴、顶点坐标，并画出函数图象，还要比较不同横坐标下的函数值大小。
15. **二次函数的图象与轴的交点**：
- 对于 $y = 2x^2 - 4x - 6$，需要求出与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点坐标，分析函数的单调性。
16. **抛物线的几何性质**：
- 抛物线 $y = -x^2 + 2x + m$ 与 $x$ 轴的交点是 $(3, 0)$，要求出另一个交点和与 $y$ 轴的交点，以及满足特定面积条件的点 $D$ 的坐标。
17. **二次函数的特征数**：
- 特征数 $[p, q]$ 描述了函数 $y = x^2 + px + q$ 的特性，通过特征数可以了解函数的平移情况。
- 第17题探讨了特征数与函数平移的关系。
以上就是九年级数学下册第26章关于二次函数的图象与性质的相关知识，包括配方法、顶点坐标、对称轴、函数的平移、单调性、交点坐标以及二次函数的特征数等概念及其应用。
