在高中数学的学习中，圆锥曲线是一类重要的几何对象，包括椭圆、双曲线和抛物线等。这些曲线有着共同的特征，并且直线与圆锥曲线的交点问题是研究圆锥曲线性质的重要方面。本章节主要探讨了这些概念。
直线与圆锥曲线的交点情况取决于它们的方程。例如，对于题目中的第1题，过点(2,4)的直线与抛物线 y^2 = 8x 的交点问题，由于点(2,4)恰好在抛物线上，因此可能存在两条直线，一条是抛物线的切线，另一条与x轴平行，使得交点只有一个。
第2题考察的是曲线的性质。方程 = |x + y + 2|可以通过变形得到 = > 1，这表明它表示的曲线是一条双曲线，符合圆锥曲线的共同特征，即方程可以转换为标准形式，揭示曲线类型。
第3题涉及椭圆与直线的交点问题。椭圆 C: + x^2 = 1 与直线 l: 9x + y - 5 = 0 的交点可以通过联立方程求解，通过韦达定理可以找到交点中点P的坐标。
第4题讨论了椭圆上点到焦点距离的最值问题。根据椭圆的性质，椭圆上点到一个焦点的距离最小，意味着这个点是椭圆长轴的端点。
第5题中，直线 y = x + 3 与曲线 - = 1 的交点个数，需要考虑曲线的两部分，即椭圆的一部分和双曲线的一部分，通过图形分析可以得出它们有三个交点。
第6题，直线与曲线 y = 和 y = -x + 的公共点，通过图形分析可以发现直线与半圆相切，所以只有一个交点。
第7题，直线 y = 1 与椭圆 + y^2 = 1 的交点，通过联立方程计算，可以求得弦AB的长度。
第8题，直线 y = kx + 1 与曲线 mx^2 + 5y^2 = 5m 的公共点，要求 m 的取值范围，通过判别式分析，可以得出 m 需要大于等于1。
第9题，双曲线的离心率和交点问题，通过假设存在这样的点P并利用双曲线的第一、第二定义，可以推导出矛盾，从而证明不存在满足条件的点P。
第10题，抛物线与直线的相切问题，以及抛物线上两点A和B的性质。通过相切条件求出抛物线的方程。当直线AB与x轴交于点Q(-1,0)时，利用比例关系找到直线AB的斜率。通过AB的垂直平分线l与x轴的交点C，结合抛物线的焦半径公式，求出点C的坐标。
总结来说，这些题目涵盖了直线与圆锥曲线的交点问题，椭圆、双曲线和抛物线的性质，以及这些几何对象的共同特征。通过解决这些问题，学生可以深入理解圆锥曲线的理论，提高解决相关问题的能力。
