通用2015高中数学3.2函数模型及其应用练习题新人教A版必修1
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【函数模型及其应用】 函数模型在高中数学中扮演着至关重要的角色,它是描述现实世界问题数学化的重要工具。在3.2章节中,主要探讨了如何利用函数模型解决实际问题,例如经济、物理、工程等领域的问题。以下是部分练习题解析,以加深对函数模型的理解。 1. 工厂日产手套的成本y与产量x的关系为y=5x+4000,出厂价格为10元/副。工厂要不亏损,需确保收入大于成本,即10x >= 5x + 4000,解得x >= 800,所以日产手套至少为800副。 2. 由注水量V与水深h的函数关系图像可知,随着水深增加,注水量V以非线性方式增长,表明水瓶的底部面积小于顶部,可能是圆台形状。 3. 汽车从A到B再返回A的过程中,离开A地的距离x与时间t的关系为一次函数和常值函数的组合。去程速度60千米/小时,回程50千米/小时,停留1小时,故函数表达式为x = 60t (0 <= t <= 2.5) 和 x = -50(t - 3.5) + 150 (2.5 < t <= 5.5)。 4. 林区森林蓄积量每年增长10.4%,表示增长率为1.104^x,所以经过x年,蓄积量为原量的1.104^x倍,函数y=f(x)=1.104^x的图象应为指数增长型。 5. 商品利润最大化的模型是二次函数的顶点问题。初始利润为(10-8)*100=200元,价格上涨1元,销量减少10个,利润变为(11-8)*(100-10x),最大化时x满足10x^2 - 100x + 100 = 0,解得x=5,因此销售价应为15元。 6. 药物释放过程中的含药量y与时间t成正比,释放后呈指数衰减,根据图像,y=116t-a,由0.25毫克以下可进入教室,解得t的最小值。 7. 长方形公园设计问题属于几何优化问题,需在满足条件的区域内找到面积最大值。可以使用微积分或代数方法求解,涉及线性规划或极值问题。 8. 鱼群的年增长量y与实际养殖量x与空闲率的关系为比例函数,y=kx(1-x/m),其中k>0,m为最大养殖量。求解函数的最大值,定义域为0<x<m。同时,当y取最大值时,求k的范围。 9. 销售收入R与广告费用x1、x2的经验公式R=-2x1^2-x2^2+13x1+11x2-28。在不同广告费用限制下,可以通过求导找到收益最大化的广告策略,即求R-x1-x2的最大值。 以上就是函数模型在实际问题中的应用,它帮助我们构建数学模型,解决复杂问题,体现了数学在现实世界的实用性。理解并掌握这些模型和解题方法,对于学习者来说是提高分析和解决问题能力的关键。
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