【对数与对数运算】是对高中数学中的一个重要章节，主要探讨了对数的基本概念、性质和运算法则。在本课时的学习中，我们将深入理解对数换底公式及其应用。
**对数的定义**是指数式与对数式之间的关系，即如果 \( a^b = x \)，那么 \( b \) 就是对数 \( x \) 以底数 \( a \) 为底的对数，记作 \( \log_a{x} = b \)。对数的概念是解决涉及幂运算问题的有效工具。
**对数的运算性质**包括以下三个基本性质：
1. \( \log_a{(xy)} = \log_a{x} + \log_a{y} \)
2. \( \log_a{\left(\frac{x}{y}\right)} = \log_a{x} - \log_a{y} \)
3. \( \log_a{x^n} = n\log_a{x} \)
这些性质在求解对数问题时起到关键作用，使我们能够将复杂表达式简化为更易于计算的形式。
**对数换底公式**是本课时的重点内容，它表示为：
\[ \log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}} \]
其中 \( c \) 是任意正数，且 \( c \neq 1 \)。这个公式使得我们可以将不同底数的对数转换为同底数的对数，便于计算。
在实际应用中，常常选择自然对数（以 \( e \) 为底）或常用对数（以 \( 10 \) 为底），因为它们有特殊的计算便利性。自然对数通常用 \( \ln \) 表示，常用对数用 \( \lg \) 表示。
**预习检测中的问题**涉及到对数的性质和换底公式的运用。例如，问题1检验了对数的倒数性质；问题2和3则要求利用换底公式进行计算；问题4和5需要综合运用对数运算性质和换底公式解方程。
对于第5题的方程组：
\[ (1) \log_2{x} - \log_2{y} = 3 \]
\[ (2) \log_{3/2}{x} + \log_{3/2}{y} = 2 \]
可以先将对数方程转化为指数方程，再解出 \( x \) 和 \( y \) 的关系。
通过对这些知识点的理解和熟练应用，不仅能掌握对数的基本运算，还能解决实际问题，如科学计算、数据分析等领域的应用。在后续学习中，对数将与微积分紧密相连，成为解析函数性质、研究函数增长速度等方面的重要工具。因此，深入理解和掌握对数运算至关重要。
