【正余弦定理的应用】
正余弦定理是高中数学中的重要概念，它们在解决三角形问题，尤其是在实际问题中具有广泛的应用。本讲主要针对江苏版2018年高考数学一轮复习，着重讲解正余弦定理在解决三角形度量问题中的运用。
1. **正弦定理**：
正弦定理表述为，在任意三角形ABC中，边长与其对应角的正弦值的比例是相等的，即`a/sinA = b/sinB = c/sinC`。其中a、b、c分别是三角形的边长，A、B、C是对应的内角。利用这个定理，可以解决例如求边长、角度、三角形面积等问题。
2. **余弦定理**：
余弦定理表述为，对于任意三角形ABC，任一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与夹角的余弦的两倍积，即`c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC`。同样，可以变换形式为`a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA`和`b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosB`。余弦定理适用于求解边长、角度以及解决斜边与邻边关系的问题。
3. **常见应用实例**：
- 题例1：通过角度和已知边长，运用正弦定理求解未知边长。
- 题例2：使用面积公式结合正弦定理求解三角形面积。
- 题例3：结合仰角和俯角，以及几何关系求解山高。
- 题例4：通过仰角和俯角计算两角度之和。
- 题例15：根据方位角确定点的位置关系。
4. **注意事项**：
- 解题时要正确选择使用正弦定理还是余弦定理，这取决于题目中给出的信息类型。
- 选择合适的基线和三角形进行问题转化，确保模型构建的准确性。
- 注意角度的计算，如题例4中角度BAC的计算是两个仰角和俯角的和。
- 了解并熟练应用方向角和方位角的概念，这对解决实际问题至关重要。
5. **坡角和坡比**：
在实际问题中，坡角是地面与水平面的夹角，坡比则是垂直高度与水平长度的比值。这些概念在解决涉及地形测量和建筑结构的问题时非常关键。
6. **解题策略**：
- 理解并绘制示意图是解决问题的第一步，它有助于直观地呈现问题情境。
- 确定解题所需的三角形，根据正弦定理和余弦定理建立等式求解。
- 注意角度的选取和计算，以及边长的合理转换。
7. **例题解析**：
- 例题1-1中，利用余弦定理求解两船行驶后形成的角度BAC，通过构建等腰三角形并应用余弦定理求解。
- 例题1-2涉及到最大面积问题，通常可以通过构建函数模型，利用几何性质找到面积最大化的条件。
正余弦定理是解决三角形问题的重要工具，尤其在处理实际问题时，如航海、建筑、地理等领域，通过正确理解和灵活运用这些定理，可以准确地求解各种度量问题。在高考复习中，掌握并熟练应用正余弦定理是提升数学能力的关键。
