反比例函数是初中数学中的一个重要概念，主要出现在九年级下册的教材中。反比例函数是一种函数形式，其表达式通常为 \( y = \frac{k}{x} \)，其中 \( k \) 是常数，\( k \neq 0 \)，而 \( x \) 与 \( y \) 的乘积恒为常数 \( k \)。
1. 如果 \( y \) 与 \( \frac{1}{x} \) 成正比，那么 \( y \) 是 \( x \) 的反比例函数。这是因为 \( y \cdot \frac{1}{x} = k \) 可以转化为 \( y = kx^{-1} \)的形式，符合反比例函数的定义。因此，正确答案是 B. 反比例函数。
2. 圆柱的母线长 \( l \) 与底面半径 \( r \) 之间的函数关系可以通过侧面积公式推导得出，即 \( l = \frac{2\pi rh}{2\pi r} = h \)，因此 \( l \) 是 \( r \) 的正比例函数，不是反比例函数。但题目中给出的是当侧面展开图是面积为 10 的矩形时的情况，这时 \( l \cdot 2\pi r = 10 \)，即 \( l = \frac{10}{2\pi r} \)，因此 \( l \) 是 \( r \) 的反比例函数。正确答案是 B. 反比例函数。
3. 当 \( y \) 是 \( x \) 的反比例函数，且比例系数 \( k > 0 \)，如果 \( x \) 增加 20%，即 \( x \) 变为 \( 1.2x \)，根据反比例函数的性质，\( y \) 将变为 \( \frac{k}{1.2x} \)。由于 \( \frac{1}{1.2} \approx 0.833 \)，所以 \( y \) 减少了约 16.7%。正确答案是 D. 减少约 16.7%。
4. 反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 可以用来描述各种生活情境中的关系。例如，如果一辆汽车的油箱容量是固定的，那么行驶的公里数 \( y \)（单位：km）与每升油可以行驶的公里数 \( x \)（单位：km/L）成反比，可以表示为 \( y = \frac{k}{x} \)。
5. 在给定的三个例子中，(1) 对角线关系 \( y = \frac{40}{x} \)，(2) 力与距离关系 \( F = \frac{50}{s} \)，(3) 地砖数量与单个地砖面积关系 \( y = \frac{a}{x} \)，都是反比例函数，比例系数分别为 40, 50 和 \( a \)。
6. 长方体木箱的体积固定时，底面积 \( S \) 与高 \( h \) 的关系为 \( Sh = V \)（体积 \( V \) 为常数）。当 \( S = 0.8 \) 平方米，\( h = 0.6 \) 米时，可以求出 \( V = 0.48 \) 立方米。进而得到 \( S \) 关于 \( h \) 的函数解析式 \( S = \frac{0.48}{h} \)。当 \( S = 1.2 \) 平方米时，\( h \) 的值为 \( \frac{0.48}{1.2} = 0.4 \) 米。
7. 当 \( y_1 \) 是 \( x \) 的正比例函数，\( y_2 \) 是 \( x \) 的反比例函数，可以通过两个条件 \( y_1 - y_2 = -3 \) 和 \( y_1 = y_2 \) 来求解。解得 \( y_1 = x \) 和 \( y_2 = 4x \)。
8. 根据欧姆定律 \( U = IR \)，当电压 \( U \) 不变时，电流 \( I \) 与电阻 \( R \) 成反比。当 \( R = 12.5 \) 欧姆，\( I = 0.2 \) 安培时，可以确定 \( U = 2.5 \) 伏特。所以 \( I = \frac{2.5}{R} \)。当 \( R = 5 \) 欧姆时，\( I = \frac{2.5}{5} = 0.5 \) 安培。
9. 设 \( y_1 = k_1(x+1) \)，\( y_2+1 = k_2x \)，从而 \( y_2 = k_2x - 1 \)，结合给定条件解得 \( y = x - \frac{1}{x-1} \)。当 \( x = -1 \) 时，\( y = -1 - \frac{1}{-2} = -1 + 0.5 = -0.5 \)。
通过这些题目，我们可以理解反比例函数的基本性质、应用和解题方法，这对于学生掌握反比例函数的概念和运算具有重要意义。
