### 平行四边形的判定及相关知识点
#### 核心知识点概述
1. **平行四边形的基本定义与性质**：
- 平行四边形是一种特殊的四边形，其对边相等且平行。
- 对角相等，邻角互补。
- 对角线互相平分。
2. **平行四边形的判定方法**：
- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
- 两组对角相等的四边形是平行四边形。
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
- 一组对边相等，另一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形（这是一个常见的误区）。
3. **特殊平行四边形的性质**：
- **矩形**：所有角都是直角的平行四边形。
- **菱形**：四条边相等的平行四边形。
- **正方形**：既是矩形又是菱形的平行四边形，即四边相等且四个角都是直角。
- **等腰梯形**：只有一组对边平行，且非平行边相等的梯形。
#### 具体题目解析
1. **第一题**：“如图，AB=CD，且∠DCA=∠BAC，判断四边形ABCD的形状，并说明你的理由。”
- 解析：根据题意，已知两边相等且两个角相等，可以推出这是一组对边平行的情况，因此四边形ABCD是平行四边形。
- 回答：四边形ABCD是平行四边形。
- 理由：根据平行四边形的判定方法之一，如果一组对边相等且它们的夹角相等，则该四边形为平行四边形。
2. **选择题**：“下列说法：
- ①一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形；
- ②对角线互相垂直的四边形是菱形；
- ③有三个角是直角的四边形是矩形；
- ④正方形的对角线相等。
- 其中错误的有（）
- A．1个 B．2个 C．3个 D．4个”
- 解析：①是错误的，因为这并不足以判定平行四边形；②也是错误的，对角线互相垂直的四边形可能是菱形，但也可能是其它形状，如筝形；③正确，如果有三个角是直角，则第四个角也必定是直角，因此它是矩形；④正确，正方形的对角线相等。
- 回答：选项B（2个错误）。
3. **第二题**：“如图，描出A（-3，-2），B（2，-2），C（-2，1），D（3，1）四个点。
- （1）线段AB，CD有什么位置关系？
- （2）线段AB，CD有什么数量关系？
- （3）四边形ABCD是什么图形？”
- 解析：通过坐标可以得出AB和CD的长度以及斜率。
- （1）位置关系：平行。
- （2）数量关系：长度相等。
- （3）四边形ABCD是平行四边形。
- 回答：（1）线段AB与CD平行；（2）线段AB与CD的长度相等；（3）四边形ABCD是平行四边形。
4. **第三题**：“如图，在△ABE中，AB=AE，将△ABE沿直线BE平移到△DEC的位置，连接AD。
- （1）四边形ABCD是等腰梯形吗？请你说说理由；
- （2）当AB=BE时，AE与BD互相垂直平分吗？请你说说理由。”
- 解析：由于AB=AE，平移后AD=BE，且AB∥DC。
- （1）四边形ABCD是等腰梯形。理由：AB=AE，平移后AD=BE，且AB∥DC。
- （2）当AB=BE时，AE与BD互相垂直平分。理由：由于AB=BE，且AB∥DC，所以四边形ABCD是一个等腰梯形，此时AD=BE，且AD∥BE，故AE与BD互相垂直平分。
5. **第四题**：“如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE。
- （1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；
- （2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；
- （3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？”
- 解析：根据条件，DE是BC的垂直平分线，所以CE=BE。又因为AF=CE，所以AF=BE。
- （1）四边形ACEF是平行四边形。理由：AF=BE且AF∥BE，因此四边形ACEF是一个平行四边形。
- （2）当∠B=45°时，四边形ACEF为菱形。理由：此时△ABC是一个等腰直角三角形，所以AB=AC，进一步可得AF=CE=BE=AD，因此四边形ACEF是一个菱形。
- （3）四边形ACEF不可能是正方形。理由：即使∠B=45°时，四边形ACEF成为一个菱形，但由于∠ACB=90°，所以四边形ACEF无法成为正方形，除非AB=AC且AF⊥CE，但这与给定条件不符。
这些题目不仅涉及了平行四边形的基本性质和判定方法，还深入探讨了特殊平行四边形的性质，对于理解和平行四边形相关的几何问题非常有帮助。
