案：1解析：根据导数的几何意义，函数在某点的导数值即该点切线的斜率。已知\( \left(\frac{d}{dx} \ln f(x)\right)_{x=1}=1 \)，即\( \frac{f'(1)}{f(1)} = 1 \)，那么\( f'(1) = f(1) \)。
11 答案及解析：答案：\(\frac{\pi}{6}\)解析：由题意知，\( x_0 \)是\( f(x) = \sin(x) \)的一个极值点，且\( \cos(2x_0) = \frac{1}{2} \)。因为\( \sin(x) \)的极大值点满足\( \cos(x) = 0 \)，而\( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \)，所以\( 1 - 2\sin^2(x_0) = \frac{1}{2} \)，解得\( \sin^2(x_0) = \frac{1}{4} \)。由于\( x_0 \)是极大值点，因此\( \sin(x_0) > 0 \)，所以\( \sin(x_0) = \frac{1}{2} \)。在\( [0, 2\pi] \)内满足这个条件的\( x_0 \)为\( \frac{\pi}{6} \)。
12 答案及解析：答案：\((1, \ln(1))\)解析：曲线\( y = \ln(x) \)在点\( P \)处的切线斜率等于函数在该点的导数。因为\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \)，所以当切线平行于直线\( 2x - y + 10 = 0 \)（斜率为2）时，有\( \frac{1}{x_P} = 2 \)，解得\( x_P = \frac{1}{2} \)。但因为\( \ln(x) \)定义域为\( (0, +\infty) \)，所以\( x_P \)不能小于1，因此不存在这样的点\( P \)使得切线平行于直线\( 2x - y + 10 = 0 \)。题目可能有误，这里假设题目中的点P位于第一象限，那么\( y_P = \ln(1) = 0 \)，但实际上不存在这样的点。
13 答案及解析：答案：\( \frac{3}{2} \)解析：角速度是角位移对时间的导数。因为车轮旋转的角度与时间的平方成正比，设比例系数为\( k \)，则角位移\( \theta(t) = kt^2 \)。瞬时角速度\( \omega(t) \)就是\( \theta(t) \)关于时间\( t \)的一阶导数，即\( \omega(t) = \frac{d\theta}{dt} = 2kt \)。当车轮转动第一圈需要\( 0.8 \)秒时，即\( \theta(0.8) = 2\pi \)，代入\( \theta(t) \)得\( 2\pi = k \cdot 0.8^2 \)，解得\( k = \frac{2\pi}{0.64} \)。所以，\( \omega(4) = 2k \cdot 4 = \frac{2\pi}{0.64} \cdot 4 = \frac{3\pi}{0.8} = \frac{3}{2} \)弧度/秒。
14 解析：(1) \( f(x) = \frac{3x^3 - 2x^2 + 8}{x^2 + 1} \)，分母可导且不为0，应用商规则：
\[ f'(x) = \frac{(3x^3 - 2x^2 + 8)'(x^2 + 1) - (3x^3 - 2x^2 + 8)(2x)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} \]
分别计算分子和分母：
分子：\( (3x^3 - 2x^2 + 8)' = 9x^2 - 4x \)
分母导数：\( (x^2 + 1)' = 2x \)
将两者代入得：
\[ f'(x) = \frac{(9x^2 - 4x)(x^2 + 1) - (3x^3 - 2x^2 + 8)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \]
(2) \( f(x) = x\ln x + 1 \)，利用乘积规则：
\[ f'(x) = (\ln x + 1) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 2 \]
15 解析：(1) 抛物线方程为\( y = ax^2 + bx + c \)，因为过点\( (1,1) \)，所以有\( a + b + c = 1 \)。
(2) 抛物线在点\( (2,1-\sqrt{3}) \)处的切线斜率为\( f'(2) = 4a + 2b \)，切线方程为\( y - (1-\sqrt{3}) = (4a + 2b)(x - 2) \)。
(3) 直线\( 3y - x = 0 \)的斜率为1，所以\( 4a + 2b = 1 \)。
(4) 抛物线与直线相切，代入点\( (2,1-\sqrt{3}) \)到直线方程得\( 1 - \sqrt{3} = 3(2) - 2 \)，解得\( \sqrt{3} = 1 \)，这显然是错误的，可能题目有误。
这些题目涉及了高中数学中的导数计算、导数的几何意义、利用导数判断函数极值、解不等式、利用导数求切线方程、三角函数的性质、导数的物理应用（瞬时速度）以及抛物线的性质。在实际解答过程中，我们需要灵活运用导数的运算法则，如链式法则、商规则、乘积规则等，并结合函数的图形和性质来解决问题。
