### 一元二次方程的根与系数的关系
#### 核心知识点解析
**一元二次方程**的标准形式为\(ax^2 + bx + c = 0\)（其中\(a \neq 0\)）。根据韦达定理，如果方程\(ax^2 + bx + c = 0\)有两个根\(x_1\)和\(x_2\)，那么这两个根与系数之间存在以下关系：
1. **根之和公式**：\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
2. **根之积公式**：\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)
这些关系为我们提供了求解一元二次方程问题的重要工具。
#### 例题解析
1. **例题1**：已知关于\(x\)的方程\(2x^2 + mx + n = 0\)的两个根是\(-2\)和\(1\)，求\(nm\)的值。
**解析**：根据根之和与根之积的公式，可以得到：
- 根之和：\(-2 + 1 = -1 = -\frac{m}{2}\)，从而得出\(m = 2\)。
- 根之积：\(-2 \times 1 = -2 = \frac{n}{2}\)，从而得出\(n = -4\)。
因此，\(nm = (2) \times (-4) = -8\)。但根据题目提供的答案选项，正确答案为\(C\)（即\(nm = 16\)）。这表明题目解析部分的答案解析可能存在错误，正确的答案应该是\(nm = (-4)^2 = 16\)。
2. **例题2**：若\(x_1, x_2\)是方程\(x^2 - 2mx + m^2 - m - 1 = 0\)的两个根，且\(x_1 + x_2 = 1 - x_1x_2\)，求\(m\)的值。
**解析**：根据根之和与根之积的公式，可以得到：
- 根之和：\(x_1 + x_2 = 2m\)
- 根之积：\(x_1 \cdot x_2 = m^2 - m - 1\)
将这些信息代入题目条件\(x_1 + x_2 = 1 - x_1x_2\)，可以得到\(2m = 1 - (m^2 - m - 1)\)。解此方程可得\(m = 1\)或\(m = -2\)。但由于方程需有实数根，还需要考虑判别式\(\Delta \geq 0\)的条件，进一步确定\(m\)的值。最终正确答案为\(D\)（即\(m = 1\)）。
3. **例题3**：若\(\alpha, \beta\)为方程\(2x^2 - 5x - 1 = 0\)的两个实数根，求\(2\alpha^2 + 3\alpha\beta + 5\beta\)的值。
**解析**：首先利用根之和与根之积的公式计算出\(\alpha + \beta\)和\(\alpha \cdot \beta\)的值：
- 根之和：\(\alpha + \beta = \frac{5}{2}\)
- 根之积：\(\alpha \cdot \beta = -\frac{1}{2}\)
接下来，根据题目要求计算\(2\alpha^2 + 3\alpha\beta + 5\beta\)的值。通过代数变换和代入，可以得到最终答案为\(B\)（即\(12\)）。
4. **例题4**：已知关于\(x\)的方程\(x^2 - (a+b)x + ab - 1 = 0\)，判断下列结论是否正确：
- \(① x_1 \neq x_2\)
- \(② x_1x_2 < ab\)
- \(③ < a^2 + b^2\)
**解析**：首先利用根之和与根之积的公式计算出\(x_1 + x_2\)和\(x_1 \cdot x_2\)的值，并结合判别式的条件进行判断。最终可以得出结论\(①\)和\(②\)正确，\(③\)不正确。
5. **例题5**：若关于\(x\)的方程\(x^2 + (k-2)x + k^2 = 0\)的两根互为倒数，求\(k\)的值。
**解析**：根据根之和与根之积的公式，可以得到：
- 根之和：\(x_1 + x_2 = 2 - k\)
- 根之积：\(x_1 \cdot x_2 = k^2\)
若两根互为倒数，则\(x_1 \cdot x_2 = 1\)，从而得出\(k^2 = 1\)，进而得到\(k = -1\)或\(k = 1\)。但是，当\(k = 1\)时，方程无实数根，因此最终答案为\(k = -1\)。
6. **例题6**：已知\(x_1, x_2\)为方程\(x^2 + 3x + 1 = 0\)的两个实数根，求\(\frac{x_1}{x_2} + 8x_2 + 20\)的值。
**解析**：首先利用根之和与根之积的公式计算出\(x_1 + x_2\)和\(x_1 \cdot x_2\)的值。接下来，通过代数变换和代入，可以计算出\(\frac{x_1}{x_2} + 8x_2 + 20\)的值为\(-1\)。
7. **例题7**：已知关于\(x\)的方程\(x^2 + (2k-1)x + k^2 - 1 = 0\)有两个实数根\(x_1, x_2\)。
- 求实数\(k\)的取值范围；
- 若\(x_1, x_2\)满足\(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2 + x_1x_2 = 16 + x_1x_2\)，求实数\(k\)的值。
**解析**：首先求解实数\(k\)的取值范围，利用判别式\(\Delta \geq 0\)的条件，可以得出\(k \leq \frac{5}{4}\)。接着，根据题目给出的条件进行计算，可以得到\(k = -2\)。
8. **例题8**：若实数\(x_1, x_2\)满足\(-3x_1 + 1 = 0\)和\(-3x_2 + 1 = 0\)，求\(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2 + 3x_1x_2 + 5\)的值。
**解析**：通过解方程组\(-3x_1 + 1 = 0\)和\(-3x_2 + 1 = 0\)，可以得到\(x_1\)和\(x_2\)的值。然后根据题目要求计算\(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2 + 3x_1x_2 + 5\)的值。
9. **例题9**：已知菱形\(ABCD\)的边长是\(5\)，两条对角线交于点\(O\)，且\(OA, OB\)的长分别是关于\(x\)的方程\(x^2 + (2m-1)x + m^2 + 3 = 0\)的根，求\(m\)的值。
**解析**：根据根之和与根之积的公式，结合菱形的性质和勾股定理，可以解出\(m\)的值。具体步骤涉及代数变换和方程求解。
通过以上例题的解析，我们不仅可以加深对一元二次方程及其根与系数关系的理解，还能提高解决相关问题的能力。
