循环冗余校验 CRC 的算法分析和程序实现
西南交通大学计算机与通信工程学院 刘东
摘要 通信的目的是要把信息及时可靠地传送给对方，因此要求一个通信系统传输消息必须可靠
与快速，在数字通信系统中可靠与快速往往是一对矛盾。为了解决可靠性，通信系统都采用了差错
控制。本文详细介绍了循环冗余校验 CRC（Cyclic Redundancy Check）的差错控制原理及其算法实
现。
关键字 通信 循环冗余校验 CRC-32 CRC-16 CRC-4
概述
在数字通信系统中可靠与快速往往是一对矛盾。若要求快速，则必然使得每个数据码元所占地
时间缩短、波形变窄、能量减少，从而在受到干扰后产生错误地可能性增加，传送信息地可靠性下
降。若是要求可靠，则使得传送消息地速率变慢。因此，如何合理地解决可靠性也速度这一对矛盾，
是正确设计一个通信系统地关键问题之一。为保证传输过程的正确性，需要对通信过程进行差错控
制。差错控制最常用的方法是自动请求重发方式（ARQ）、向前纠错方式（FEC）和混合纠错（HEC）。
在传输过程误码率比较低时，用 FEC 方式比较理想。在传输过程误码率较高时，采用 FEC 容易出
现“乱纠”现象。HEC 方式则式 ARQ 和 FEC 的结合。在许多数字通信中，广泛采用 ARQ 方式，
此时的差错控制只需要检错功能。实现检错功能的差错控制方法很多，传统的有：奇偶校验、校验
和检测、重复码校验、恒比码校验、行列冗余码校验等，这些方法都是增加数据的冗余量，将校验
码和数据一起发送到接受端。接受端对接受到的数据进行相同校验，再将得到的校验码和接受到的
校验码比较，如果二者一致则认为传输正确。但这些方法都有各自的缺点，误判的概率比较高。
循环冗余校验 CRC（Cyclic Redundancy Check）是由分组线性码的分支而来，其主要应用是二
元码组。编码简单且误判概率很低，在通信系统中得到了广泛的应用。下面重点介绍了 CRC 校验
的原理及其 算法实现。
一、循环冗余校验码（CRC）
CRC 校验采用多项式编码方法。被处理的数据块可以看作是一个 n 阶的二进制多项式，由
01
2
2
1
1
axaxaxa
x
n
n
n
++⋅⋅⋅++
−
−
−
−
。如一个 8 位二进制数 10110101 可以表示为：
10101101
234567
+++++++ xxxxxxx 。多项式乘除法运算过程与普通代数多项式的乘除法相
同。多项式的加减法运算以 2 为模，加减时不进，错位，和逻辑异或运算一致。
采用 CRC 校验时，发送方和接收方用同一个生成多项式 g（x）,并且 g（x）的首位和最后一
位的系数必须为 1。CRC 的处理方法是：发送方以 g（x）去除 t（x），得到余数作为 CRC 校验码。
校验时，以计算的校正结果是否为 0 为据，判断数据帧是否出错。
CRC 校验可以 100％地检测出所有奇数个随机错误和长度小于等于 k（k 为 g（x）的阶数）的
突发错误。所以 CRC 的生成多项式的阶数越高，那么误判的概率就越小。CCITT 建议：2048 kbit/s
的 PCM 基群设备采用 CRC-4 方案，使用的 CRC 校验码生成多项式 g（x）=
1
4
++ xx 。采用 16
位 CRC 校验，可以保证在
14
10 bit 码元中只含有一位未被检测出的错误
]2[
。在 IBM 的同步数据链
路控制规程 SDLC 的帧校验序列 FCS 中，使用 CRC-16，其生成多项式 g（x）=
1
21516
+++ xxx ；
而在 CCITT 推荐的高级数据链路控制规程 HDLC 的帧校验序列 FCS 中，使用 CCITT-16，其生成多
项式 g （ x ） =
1
51516
+++ xxx 。 CRC-32 的生成多项式 g （ x ）
