ACM 算法模板

### ACM算法模板解析 #### 一、概述 本文档提供了ACM竞赛中常见的算法模板，涵盖了数论算法、图论算法、几何算法等多个方面。这些模板对于初学者来说是宝贵的资源，可以帮助他们更快地掌握算法的基本原理和实现方法。下面我们将详细介绍文档中提到的一些关键知识点。 #### 二、常用函数与STL 这部分介绍了C++编程语言中的标准库函数（STL），这些函数在编写算法时非常有用。 - **getchar()**: 用于读取单个字符，通常用来忽略不必要的输入。 - **gets()**: 用于读取一行字符串。 - **malloc()**: 动态分配内存，可以根据需要开辟一定大小的空间。 - **qsort()**: 快速排序函数，可以通过提供比较函数来对任意类型的数据进行排序。 #### 三、重要公式与定理 这部分列举了一系列数学公式与定理，它们在算法设计中经常被用到。 - **Fibonacci Number（斐波那契数列）**: 定义为`F(n) = F(n-1) + F(n-2)`，其中`F(0) = 0, F(1) = 1`。 - **Lucas Number（卢卡斯数列）**: 类似于斐波那契数列，定义为`L(n) = L(n-1) + L(n-2)`，其中`L(0) = 2, L(1) = 1`。 - **Catalan Number（卡特兰数）**: 在许多组合问题中出现，第n个卡特兰数的计算公式为`C(n) = (1/(n+1)) * (2n choose n)`。 - **Stirling Number of the Second Kind（第二类斯特林数）**: 表示将n个不同元素分成k个非空集合的方法数。 - **Bell Number（贝尔数）**: 表示将n个不同元素分成若干非空集合的方法数。 - **Stirling’s Approximation（斯特林近似）**: 提供了阶乘函数n!的一个很好的近似公式。 - **Sum of Reciprocal Approximation（倒数之和近似）**: 用于近似计算一系列倒数的和。 - **Young Tableau（杨表）**: 是一个特殊的矩阵形式，在组合数学中有广泛应用。 - **整数划分**: 计算将正整数n划分为k个正整数的不同方式的数量。 - **错排公式**: 描述了n个元素的所有排列中没有一个元素出现在其原来位置上的排列数量。 - **三角形内切圆半径公式**、**三角形外接圆半径公式**、**圆內接四边形面积公式**: 这些公式在几何学中非常重要。 - **基础数论公式**: 包括了关于质数、最大公约数等方面的公式。 #### 四、大数模板与字符读入 这一部分介绍了一些处理大数以及字符读入的技术。 - **大数模板**: 由于常规的整型数据结构无法存储很大的数字，因此需要设计特殊的数据结构来处理大数运算。 - **字符读入**: 如何有效地从输入流中读取字符，这对于处理字符串等问题至关重要。 #### 五、数论算法 - **Greatest Common Divisor（最大公约数）**: 两个或多个整数共有约数中最大的一个。 - **Prime（素数判断）**: 检测一个数是否为素数。 - **Sieve Prime（素数筛法）**: 一种高效的寻找素数的方法。 - **Module Inverse（模逆元）**: 找到满足条件`x * y ≡ 1 (mod m)`的x。 - **Extended Euclid（扩展欧几里德算法）**: 用于解决线性同余方程。 - **Modular Linear Equation（模线性方程）**: 解决形如`ax ≡ b (mod m)`的方程。 - **Chinese Remainder Theorem（中国剩余定理）**: 用于解决形如`x ≡ a_i (mod m_i)`的系统方程组。 - **Euler Function（欧拉函数）**: 表示小于等于n的正整数中与n互质的数的数目。 - **Farey序列构造**: 构造分数序列。 - **Miller_Rabbin素数测试**: 基于概率的素数检测方法。 - **Pollard_rho因式分解**: 一种分解合数的有效方法。 #### 六、图论算法 - **最小生成树**: 使用Kruskal算法和Prim算法求解。 - **单源最短路径**: Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。 - **全源最短路径**: Floyd算法。 - **拓扑排序**: 对有向无环图进行排序。 - **网络预流和最大流**: Ford-Fulkerson算法。 - **最大匹配**: 如Hungarian算法、Hopcroft-Karp算法等。 - **强连通分量**: Kosaraju算法、Gabow算法等。 #### 七、几何算法 - **几何模板**: 包括了基本的几何运算和计算。 - **球面上两点最短距离**: 计算球面上两点之间的最短路径。 - **三点求圆心坐标**: 根据三个点的位置求解圆的中心坐标。 - **三角形几个重要的点**: 如重心、垂心、内心等。 #### 八、专题讨论 - **树状数组（Binary Indexed Tree）**: 一种支持快速查询和更新的高效数据结构。 - **字典树（Trie）**: 用于高效存储和检索字符串的树形结构。 - **后缀树**: 用于字符串处理的强大工具。 - **线段树**: 一种能够支持区间查询和更新操作的数据结构。 - **并查集**: 用于维护一组不相交集合的高效数据结构。 - **二叉堆**: 一种特殊的完全二叉树结构。 - **逆序数**: 计算一个排列中逆序对的数量。 - **树状DP**: 基于树形结构的动态规划问题。 - **欧拉路**: 寻找图中一条经过每条边恰好一次的路径。 - **八数码**: 一种经典的滑动拼图游戏。 - **高斯消元法**: 解线性方程组的一种有效方法。 - **字符串匹配**: 如KMP算法等。 以上内容仅是文档中提到的部分知识点，这些模板和算法在ACM竞赛中非常常见且实用。希望这些总结能帮助读者更好地理解和掌握这些重要的算法概念。