### 极限存在准则与重要极限
#### 一、极限存在准则
在数学分析中，极限的概念至关重要，尤其是在处理函数的连续性、导数、积分等问题时。极限的存在性是研究这些问题的基础。本节主要介绍两种重要的极限存在准则：夹逼准则和单调有界准则。
##### 1. 夹逼准则
夹逼准则是一种非常实用的方法，用于证明数列或函数的极限存在，并给出其值。具体表述如下：
**夹逼准则**：设数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足对于所有n∈N，有a_n ≤ b_n ≤ c_n，并且lim_(n→∞) a_n = lim_(n→∞) c_n = A，则数列{b_n}的极限存在，且等于A。
这个准则同样适用于函数的情况，即如果对于函数f(x)、g(x)、h(x)，当x趋近于某个值时，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，并且lim_(x→a) g(x) = lim_(x→a) h(x) = A，则lim_(x→a) f(x)也存在，且等于A。
**例1**：考虑数列{b_n} = {1/n}，由于0 ≤ 1/n ≤ 1对于所有n∈N成立，而lim_(n→∞) 0 = 0, lim_(n→∞) 1 = 1，则根据夹逼准则，我们可以推断出lim_(n→∞) 1/n = 0。
##### 2. 单调有界准则
单调有界准则是另一种常用的判断极限存在性的方法，它特别适用于单调数列。
**单调有界准则**：如果一个数列{a_n}是单调增加的，并且有上界（或者单调减少的，并且有下界），则该数列的极限一定存在。
**例2**：考虑数列{a_n}定义为a_1 = 1, a_(n+1) = √(2 + a_n)，这是一个单调增加的数列，容易验证它是有界的（例如，可以证明对所有n∈N，有a_n ≤ 2）。因此，根据单调有界准则，数列{a_n}的极限存在。
#### 二、两个重要极限
在数学分析中，有两个特别重要的极限，它们在很多地方都会被用到。
##### 1. 重要极限之一
**重要极限**：lim_(x→0) (1 + x)^(1/x) = e
其中e ≈ 2.71828... 是自然对数的底数。这个极限还有多种等价形式，如：
- 函数形式：lim_(x→0) (1 + x)^(1/x)
- 数列形式：lim_(n→∞) (1 + 1/n)^n
- 函数形式：lim_(x→∞) (1 + 1/x)^x
**例3**：计算lim_(n→∞) (1 + 1/n)^n。
**例4**：计算lim_(x→0) (1 + x)^(1/x)。
##### 2. 重要极限之二
另一个重要极限是：
**重要极限**：lim_(x→0) sin(x)/x = 1
这个极限常出现在三角函数的导数计算中，也是理解微积分中的许多概念的关键。
**例5**：计算lim_(x→0) sin(x)/x。
**例6**：计算lim_(x→0) (1 - cos(x))/x^2。
#### 三、小结
本节总结了两个判断数列或函数极限存在性的准则——夹逼准则和单调有界准则，以及两个极其重要的极限：(1 + x)^(1/x) → e 和 sin(x)/x → 1。这些准则和极限不仅有助于我们理解极限的概念，而且在实际问题解决中也有着广泛的应用。
#### 四、作业
为了加深理解，建议完成以下练习题：
1. 根据夹逼准则证明给定数列或函数的极限。
2. 使用单调有界准则证明数列的极限存在。
3. 应用重要极限解决问题。
通过这些练习，你可以更好地掌握极限存在准则和重要极限的知识点，并提高解决实际问题的能力。
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