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根据给定的部分内容，我们可以提炼出关于多维随机变量及其分布的重要知识点，特别是关于二维随机变量的概念、性质以及具体的例子。 ### 三维随机变量及其分布 #### 一、二维随机变量的基本概念 - **定义**: 当一个随机现象不能仅通过一个随机变量来描述时，我们需要考虑多个随机变量。例如，描述飞机在空中的位置需要三个坐标，即三个随机变量。在射击游戏中，目标的命中点可以用两个坐标来表示。 - **形式化定义**: 设 \(X\) 和 \(Y\) 是定义在一个样本空间 \(S = \{e\}\) 上的一维随机变量，那么它们组成的向量 \((X, Y)\) 就被称为定义在这个样本空间上的一个二维随机变量。 #### 二、二维随机变量的分布函数 - **定义**: 对于任意实数 \(x\) 和 \(y\)，二维随机变量 \((X, Y)\) 的分布函数 \(F(x, y)\) 定义为 \[ F(x, y) = P\{X \leq x, Y \leq y\} \] 这意味着随机点 \((X, Y)\) 落在以点 \((x, y)\) 为顶点且位于该点左下方的无穷矩形区域 \(G\) 内的概率。 - **性质**: - 分布函数 \(F(x, y)\) 关于变量 \(x\) 和 \(y\) 都是非减函数。 - 分布函数在正无穷时趋向于1，在负无穷时趋向于0。 #### 三、二维离散型随机变量及其分布 - **定义**: 如果二维随机变量 \((X, Y)\) 所有可能的取值是有限多个或者无穷可列多个，那么它被称为二维离散型随机变量。 - **联合概率分布**: - 联合概率分布指的是二维离散型随机变量所有可能取值的概率分布，可以表示为表格形式。 - 表格中的每一个元素 \(p_{ij}\) 表示 \((X, Y)\) 取值为 \((x_i, y_j)\) 的概率。 - **边缘概率分布**: - 边缘概率分布是指单一随机变量 \(X\) 或 \(Y\) 的概率分布。 - 例如，对于 \(X\) 的边缘概率分布可以通过将联合概率分布中每一列的元素相加得到；同理，\(Y\) 的边缘概率分布可以通过将每一行的元素相加获得。 #### 四、二维连续型随机变量及其分布 - **定义**: 如果二维随机变量 \((X, Y)\) 的分布函数能够通过一个非负可积函数 \(f(x, y)\) 来表示，那么这个随机变量被称为二维连续型随机变量，其中 \(f(x, y)\) 称为联合概率密度函数。 - **性质**: - 联合概率密度函数 \(f(x, y)\) 必须满足 \(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dx dy = 1\)。 - 对于任意实数 \(x\) 和 \(y\)，联合概率密度函数 \(f(x, y)\) 在 \(x\) 和 \(y\) 上都是连续的。 - 如果 \(G\) 是平面上的一个区域，则 \((X, Y)\) 落在区域 \(G\) 内的概率可以通过计算 \(f(x, y)\) 在该区域上的积分来得到。 #### 五、实例解析 - **例1**: 设随机变量 \(X\) 在1, 2, 3, 4这四个整数中等可能地取一个值，令另一个随机变量 \(Y\) 在1到 \(X\) 中等可能地取一整数值。求 \((X, Y)\) 的分布律。 - 解析: 首先列出所有可能的情况，然后计算每种情况的概率。 - **例2**: 袋中有2个黑球3个白球，从袋中随机取两次，每次取一个球，取后不放回。令 \(X\) 代表第一次取到黑球的次数，\(Y\) 代表第二次取到黑球的次数。求 \((X, Y)\) 的联合分布律。 - 解析: 通过分析所有可能的情况并计算对应的概率，得到联合分布律。 - **例3**: 设 \((X, Y)\) 的概率密度为 \(f(x, y)\)，其中 \(f(x, y) = c\) 在某个区域内，求 \(c\) 的值，并求 \(X\) 的分布律。 - 解析: 通过积分的方法求解 \(c\) 的值，进而得到 \(X\) 的分布律。 通过对以上内容的学习，我们不仅可以理解二维随机变量及其分布的基本概念，还能掌握如何通过具体的例子来解决实际问题。这些知识不仅在理论研究中非常重要，在实际应用中也有广泛的应用场景，比如在统计学、数据分析等领域。