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根据给定的部分内容,我们可以提炼出关于随机变量的数学期望及其相关知识点的详细解析。以下是对这些内容的深入探讨: ### 第四章 随机变量的数字特征 #### §1 数学期望 数学期望是一种重要的统计指标,用于度量随机变量的长期平均行为。在大量重复试验的情况下,数学期望可以被视为随机变量的平均值。 ### 一、离散型随机变量的数学期望 #### 定义 对于一个离散型随机变量 \(X\),其分布律为 \(\mathbb{P}\{X = x_k\} = p_k\),\(k = 1, 2, \ldots\)。如果级数 \(\sum_{k} x_k p_k\) 绝对收敛,则称此级数的和为随机变量 \(X\) 的数学期望,记作 \(E(X)\) 或 \(\mu_X\)。数学期望也可以理解为随机变量根据其概率分布的加权平均。 #### 常见离散型随机变量的数学期望 - **伯努利分布**:若随机变量 \(X\) 服从伯努利分布 \(B(p)\),即 \(\mathbb{P}\{X = 1\} = p\),\(\mathbb{P}\{X = 0\} = 1 - p\),则 \(E(X) = p\)。 - **二项分布**:若随机变量 \(X\) 服从参数为 \(n\) 和 \(p\) 的二项分布 \(b(n, p)\),即 \(\mathbb{P}\{X = k\} = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\),\(k = 0, 1, \ldots, n\),则 \(E(X) = np\)。 - **几何分布**:若随机变量 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的几何分布,即 \(\mathbb{P}\{X = k\} = p(1-p)^{k-1}\),\(k = 1, 2, \ldots\),则 \(E(X) = \frac{1}{p}\)。 ### 二、连续型随机变量的数学期望 对于一个连续型随机变量 \(X\),其概率密度函数为 \(f(x)\),如果积分 \(\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx\) 存在,则该积分的值称为随机变量 \(X\) 的数学期望,记作 \(E(X)\)。 #### 常见连续型随机变量的数学期望 - **均匀分布**:若随机变量 \(X\) 服从参数为 \(a\) 和 \(b\) 的均匀分布 \(U(a, b)\),则 \(E(X) = \frac{a + b}{2}\)。 - **指数分布**:若随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布,即 \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\),\(x > 0\),则 \(E(X) = \frac{1}{\lambda}\)。 - **正态分布**:若随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 的正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\),则 \(E(X) = \mu\)。 ### 三、随机变量函数的数学期望 若 \(Y = g(X)\),\(g\) 是连续函数,且 \(X\) 的分布已知,则 \(Y\) 的数学期望可由下式计算: - **离散型随机变量**:\(E(Y) = \sum_{x} g(x) \mathbb{P}\{X = x\}\) - **连续型随机变量**:\(E(Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) dx\) ### 四、数学期望的性质 - **线性性质**:对于任意常数 \(a\) 和 \(b\),以及随机变量 \(X\) 和 \(Y\),有: - \(E(aX + b) = aE(X) + b\) - \(E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)\) - **独立随机变量的乘积**:若随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 独立,则 \(E(XY) = E(X)E(Y)\)。 - **非独立随机变量的乘积**:若随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 非独立,则 \(E(XY) \neq E(X)E(Y)\)。在这种情况下,需要根据具体的联合分布来计算 \(E(XY)\)。 以上就是从给定文件中提取并扩展出来的关于随机变量的数学期望及其相关知识点的详细说明。数学期望是概率论中的一个重要概念,在实际应用中有着广泛的应用,例如在风险管理、金融工程等领域。
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