已知一物体作自由落体运动对其高度进行了20次测量.pdf

"卡尔曼滤波算法在自由落体运动中的应用" 卡尔曼滤波算法是现代控制理论中一种常用的状态估计方法，它广泛应用于各种领域，如航天、机器人、自动驾驶等。本文将介绍卡尔曼滤波算法在自由落体运动中的应用。 自由落体运动是指物体在重力场中的自由下落过程。在这个过程中，物体的高度和速度都会随着时间的变化而变化。为了估计物体的高度和速度，我们可以使用卡尔曼滤波算法。 我们需要建立物体的状态方程。根据牛顿第二运动定律，我们可以写出系统的状态方程： hk+1 = hk + vk 其中，hk是物体在k时刻的高度，vk是物体在k时刻的速度。 接下来，我们需要建立测量方程。假设我们对物体的高度进行测量，测量值为yk+.则测量方程可以写为： yk+ = hk+ + vk+ + ϵk+ 其中，ϵk+是测量误差。 为了应用卡尔曼滤波算法，我们需要定义状态变量Xk和测量变量yk+.在本例中，我们选择状态变量Xk = [hk vk]，测量变量yk+ = hk+. 然后，我们可以使用卡尔曼滤波算法来估计物体的高度和速度。卡尔曼滤波算法的基本步骤是： 1. 一步预测：Xk+ = Φ(k+1,k)Xk 2. 预测方差：Pk+ = Φ(k+1,k)PkΦT(k+1,k) 3. 滤波增益：Tk+ = Pk+HT(k+1)[HT(k+1)Pk+HT(k+1) + R(k+1)]-1 4. 滤波计算：Xk+ = Xk+ + Tk+[yk+ - H(k+1)Xk+] 5. 滤波方差：Pk+ = [I - Tk+H(k+1)]Pk+ 在本例中，我们使用MATLAB软件来实现卡尔曼滤波算法。程序清单如下： A=[1 -1;0 1];B=[-1/2;1];C=[1 0];U=9.80; R=1; h1=[1994.5 1979.4 1955.4 1921.4 1877.7 1825.0 1759.8 1686.7 1603.6 1509.2 1407.6 1294.4 1172.4 1039.9 898 745.5 585 412.5 231.8 39.9]; x=[1900 10]';p=[100 0;0 2];t=[1:20]; he=zeros(1,length(t)); for i=1:20 x=A*x+B*U; p=A*p*A'; k=p*C'*inv(R+C*p*C'); x=x+k*(h1(i)-C*x); h2(i)=x(1,:); v(i)=x(2,:); p=(eye(2)-k*C)*p; end figure(1),plot(t,h1','r',t,h2','*'); legend('测量曲线','滤波曲线') title('滤波曲线和测量曲线') figure(2),plot(t,v'); legend('速度曲线') title('速度曲线') figure(3),plot(P1,'r'); legend('高度方差') title('高度方差') figure(4),plot(P2,'r') legend('速度方差') title('速度方差') 运行程序，我们可以得到物体高度和速度随时间变化的最优估计结果。 卡尔曼滤波算法可以有效地应用于自由落体运动中，估计物体的高度和速度。该算法可以广泛应用于各种领域，具有重要的理论和实践价值。