【高中数学圆锥曲线知识点】
在高中数学中，圆锥曲线主要包括椭圆和双曲线，它们具有丰富的几何特性。以下是一些重要的结论：
**椭圆**
1. **切线性质**：对于椭圆上的点P，经过点P的切线PT会平分∠PF1F2的外角。如果PT平分外角，那么焦点F1，F2在PT上的射影H的轨迹是以长轴为直径的圆，但排除长轴的两个端点。
2. **以焦点弦为直径的圆**：以椭圆上的焦点弦PQ为直径的圆与对应的准线相离。
3. **焦半径公式**：椭圆(a > b > 0)的焦半径公式为：`|PF1| = a + ex`，`|PF2| = a - ex`，其中e是离心率，x是椭圆上点P到中心的距离。
4. **焦点与切线**：过椭圆外一点Po作椭圆的两条切线，切点为P1，P2，那么切点弦P1P2的直线方程可以通过一定的计算得出。
5. **焦点三角形面积**：椭圆的焦点三角形（由点P，焦点F1，F2构成）面积等于`ab`。
6. **垂直关系**：过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于P，Q两点，若A1，A2为椭圆长轴的顶点，连接AP，AQ分别交准线于M，N，则MF垂直于NF。
7. **对称性**：AB是椭圆上不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，那么`OM=1/2(OF1+OF2)`。
**双曲线**
1. **双曲线切线性质**：与椭圆类似，双曲线上的点P的切线PT平分∠PF1F2的角，焦点H的轨迹也是以长轴为直径的圆，但不包括端点。
2. **以焦点弦为直径的圆**：双曲线中，以焦点弦PQ为直径的圆与对应的准线相交。
3. **焦半径公式**：双曲线(a > 0, b > 0)的焦半径公式为：`|PF1| = e(c - x)`（右支），`|PF1| = -e(c + x)`（左支）。
4. **垂直关系**：双曲线中也有与椭圆类似的垂直关系，如MF垂直于NF。
5. **对称性**：在双曲线上，AB为非对称轴的弦，M为中点，那么`OM=1/2(F1F2)`。
6. **中点弦方程**：过双曲线上的点Po平分的中点弦的方程可以通过一定的代数推导得出。
7. **弦中点轨迹**：过Po的弦的中点轨迹也是一个特定的曲线方程。
**椭圆与双曲线的对偶性质**
1. **顶点与直线交点**：椭圆的两个顶点为A1(-a,0), A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1，P2，A1P1与A2P2的交点轨迹是一个椭圆。
2. **倾斜角互补的直线**：过椭圆上任意一点的两条倾斜角互补的直线BC，直线BC的方向向量与椭圆的离心率有关。
3. **焦点三角形的比例性质**：在椭圆中，若P异于长轴端点，F1，F2是焦点，那么`|PF1|·|PF2| = a² - b²`。
4. **焦半径与内角关系**：在△PF1F2中，焦半径|PF1|，|PF2|，以及内角满足一定的比例关系，这与椭圆的离心率有关。
这些是高中数学中关于圆锥曲线的一些关键结论，它们在解决实际问题时非常有用，并帮助学生理解椭圆和双曲线的几何特性。掌握这些知识对于应对高考数学中的圆锥曲线部分至关重要。
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