函数及其表示知识点汇总.doc

【函数及其表示】是数学中的基础概念，主要涵盖了映射、函数的定义、函数的表示方式以及相关的解题策略。 1. **映射的概念**：映射是指从一个集合到另一个集合的一种规则，使得第一个集合中的每一个元素在第二个集合中都有唯一的元素与之对应。在形式上，记为\( f: A \rightarrow B \)，其中\( A \)是定义域，\( B \)是值域，\( f \)是映射关系。映射要求\( A \)的元素必须有唯一象，而\( B \)的元素可以没有原象或有多个原象。 2. **函数的定义**：函数是一种特殊的映射，它规定了集合\( A \)中的每一个元素\( x \)在集合\( B \)中都有唯一确定的元素\( y \)与之对应，记作\( f: A \rightarrow B \)，\( x \)称为自变量，\( y \)称为因变量。函数的定义域是\( A \)，值域是\( B \)中所有可能的\( y \)值组成的集合。 3. **函数的表示法**： - **图象法**：通过在坐标系中画出曲线或点来表示函数，直观地展现了变量间的关系。 - **列表法**：通过表格列出自变量和对应的因变量值，方便查看特定输入和输出。 - **解析法**：用数学表达式（如方程式）明确表示函数关系，例如线性函数\( y = mx + b \)或二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)。 4. **分段函数**：当函数在不同区间有不同的表达形式时，就形成了分段函数，需要根据自变量的取值范围选择相应的表达式。 5. **考点分析**： - **考点1**：理解映射的概念，例如判断哪些对应关系构成映射，计算特定条件下映射的数量。 - **考点2**：判断两个函数是否相同，关键在于它们的定义域相同且对应关系一致。 - **考点3**：求函数解析式，通常采用待定系数法、换元法、配凑法、代入法、构造方程组法、赋值法或递推法等方法。 - **考点4**：确定函数的定义域，需考虑分母非零、对数真数为正、根式中被开方数非负、零指数幂底数不为零、负分数指数幂底数大于零等条件。 通过以上知识点的学习，我们可以解决诸如判断映射性质、确定函数的定义域、解析式等问题，并能运用多种方法求解复杂的函数表达式。在实际应用中，这些基础概念和解题技巧是理解和解决各种数学问题的关键。