时间序列分析讲义 第01章 差分方程.doc

时间序列分析讲义 第01章 差分方程 时间序列分析是经济时间序列或金融时间序列方法的基础，差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。在本章中，我们将讨论差分方程的基本概念、求解方法和动态分析。 §1.1 一阶差分方程 一阶差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。假设变量 y 代表随着时间 t 变化的某种事件的属性或者结构，则便是在时间 t 可以观测到的数据。假设受到前期取值和其他外生变量的影响，并满足下述方程： (1.1) 在上述方程当中，由于仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量 y 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量 y 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设 y 是确定性变量。 §1.1.1 差分方程求解：递归替代法 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将（1.1）表示为多个方程： ：：： 依次进行叠代可以得到： (1.2) 上述表达式（1.2）便是差分方程（1.1）的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出对这些变量取值的依赖性和动态变化过程。 §1.1.2. 差分方程的动态分析 在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如 y 的变化对 y 阶段以后的影响。假设初始值和不受到影响，则有： 专注. . (1.3) 类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到： (1.4) 上述乘子仅仅依赖参数和时间间隔，并不依赖观测值的具体时间阶段，这一点在任何差分方程中都是适用的。 §1.2. 货币需求函数的差分方程 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为、、和，则可以估计出美国货币需求函数为： 上述方程便是关于 y 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。 §1.3. 动态乘子和反应函数 动态乘子（dynamic multiplier）在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如 y 的变化对 y 阶段以后的影响。假设初始值和不受到影响，则有： (1.5) 定义 1.1 在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称为相对于外生扰动的反应函数： 显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数的取值。 （1）当时，反应函数是单调收敛的； （2）当时，反应函数是震荡收敛的； （3）当时，反应函数是单调扩 X 的； （4）当时，反应函数是震荡扩 X 的； 可以归纳描述反应函数对于参数的依赖性： 当时，反应函数是收敛的； 当时，反应函数是发散的。 §1.4. 长期收入弹性 在例 1.1 中我们已经获得了货币需求函数，从中可以求出货币需求的长期收入弹性为： 这说明收入增加 1%最终将导致货币需求增加 0.68%，这是收入对于货币需求反馈的持久影响效果。 §1.5. 持久扰动的影响 为了分析乘子的持久作用，假设时间序列的现值贴现系数为，则未来所有时间的流贴现到现在的总值为： 如果发生一个单位的变化，而不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响为边际导数： 上述分析的是外生变量的暂时扰动，如果发生一个单位的变化，而且其后的也都发生一个单位的变化，这意味着变化是持久的。这时持久扰动对于时刻的影响乘数是： 当时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响： §1.6. 小结 通过差分方程的求解和结构分析，我们可以对经济变量进行稳定性的动态分析。另外，我们也发现，内生变量对外生变量反应函数的性质比较敏感地依赖差分方程中的系数。 §1.7.阶差分方程 如果在方程当中允许依赖它的阶前期值和输入变量，则可以得到下述阶线性差分方程： (1.10) 为了方便起见，将上述差分方程，（1.10），将常数项归纳到外生变量当中。 本章讨论了差分方程的基本概念、求解方法和动态分析，介绍了差分方程在经济时间序列分析中的应用。