根据提供的信息，我们可以总结出以下知识点：
### 一、电磁场与电磁波——矢量场的基本运算
#### 1.1 矢量场的基本运算示例
在本例中，给出了三个矢量 \( \mathbf{A} \), \( \mathbf{B} \), 和 \( \mathbf{C} \)，并要求计算它们之间的各种运算结果。
- **矢量 \( \mathbf{A} \)** 的定义为：
\[
\mathbf{A} = x\hat{i} + y\hat{j} - z\hat{k}
\]
- **矢量 \( \mathbf{B} \)** 的定义为：
\[
\mathbf{B} = x\hat{i} + y\hat{j} - 2z\hat{k}
\]
- **矢量 \( \mathbf{C} \)** 的定义为：
\[
\mathbf{C} = -x\hat{i} + y\hat{j} + 2z\hat{k}
\]
接下来，我们逐一解答题目要求的各个部分：
- **(a) 计算矢量 \( \mathbf{A} \) 的模**：
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{x^2 + y^2 + (-z)^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
\]
对于特定的坐标点，比如 \( (1, 2, 3) \)，则有：
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}
\]
- **(b) 计算单位矢量 \( \mathbf{\hat{b}} \) 指向 \( \mathbf{B} \)**：
\[
\mathbf{\hat{b}} = \frac{\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|} = \frac{x\hat{i} + y\hat{j} - 2z\hat{k}}{\sqrt{x^2 + y^2 + (-2z)^2}}
\]
特定坐标点 \( (1, 2, 3) \) 下，单位矢量为：
\[
\mathbf{\hat{b}} = \frac{1\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{1 + 4 + 36}} = \frac{1\hat{i} + 2\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{41}}
\]
- **(c) 计算矢量 \( \mathbf{A} \) 和 \( \mathbf{B} \) 的点积**：
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (x\hat{i} + y\hat{j} - z\hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} - 2z\hat{k}) = x^2 + y^2 + 2z^2
\]
特定坐标点 \( (1, 2, 3) \) 下，点积为：
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 1^2 + 2^2 + 2 \cdot 3^2 = 1 + 4 + 18 = 23
\]
- **(d) 计算矢量 \( \mathbf{B} \) 和 \( \mathbf{C} \) 的叉积**：
\[
\mathbf{B} \times \mathbf{C} = \left| \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
x & y & -2z \\
-x & y & 2z \\
\end{array} \right| = 4z\hat{i} - 4x\hat{j} - 2(x^2 + y^2)\hat{k}
\]
特定坐标点 \( (1, 2, 3) \) 下，叉积为：
\[
\mathbf{B} \times \mathbf{C} = 12\hat{i} - 4\hat{j} - 10\hat{k}
\]
- **(e) 计算三重矢量积 \( (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{C} \)**：
首先计算 \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \)：
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left| \begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
x & y & -z \\
x & y & -2z \\
\end{array} \right| = -z\hat{i} - x\hat{j} + 0\hat{k}
\]
接着计算 \( (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{C} \)：
\[
(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{C} = (-z\hat{i} - x\hat{j}) \times (-x\hat{i} + y\hat{j} + 2z\hat{k})
\]
特定坐标点 \( (1, 2, 3) \) 下，结果为：
\[
(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{C} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}
\]
- **(f) 计算 \( \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) \) 的点积**：
\[
\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (x\hat{i} + y\hat{j} - z\hat{k}) \cdot (4z\hat{i} - 4x\hat{j} - 2(x^2 + y^2)\hat{k})
\]
特定坐标点 \( (1, 2, 3) \) 下，点积为：
\[
\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = 12 - 8 - 18 = -14
\]
通过以上分析，我们可以看出矢量场中的基本运算包括了矢量的加减、点积、叉积以及它们的各种组合形式，这些运算是理解和解决电磁场问题的基础。
