线性代数习题全集-同济四版

### 线性代数习题全集-同济四版 #### 第一章 行列式 在《线性代数习题全集-同济四版》这本书中，第一章主要介绍了行列式的概念、性质及其计算方法。下面将根据题目中的具体内容，详细解释几个重要的知识点。 ### 一、行列式的计算 #### 例题解析： **1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式：** - **(1)** \(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & -1 \\ -1 & 8 & 3 \end{vmatrix}\) 对于三阶行列式，可以使用对角线法则进行计算。根据此法则，该行列式的值等于主对角线上元素乘积之和减去副对角线上元素乘积之和。具体地， \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & -1 \\ -1 & 8 & 3 \end{vmatrix} = 2 \times (-4) \times 3 + 0 \times (-1) \times (-1) + 1 \times 1 \times 8 - 0 \times 1 \times 3 - 2 \times (-1) \times 8 - 1 \times (-4) \times (-1) = -24 + 8 + 16 - 4 = -4. \] - **(2)** \(\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}\) 使用行列式的性质，我们可以得到： \[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = acb + bac + cba - bbb - aaa - ccc = 3abc - a^3 - b^3 - c^3. \] - **(3)** \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}\) 这是一个特殊的行列式，可以通过展开计算得出： \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = bc^2 + ca^2 + ab^2 - ac^2 - ba^2 - cb^2 = (a-b)(b-c)(c-a). \] - **(4)** \(\begin{vmatrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{vmatrix}\) 同样地，通过展开计算可得： \[ \begin{vmatrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{vmatrix} = x(x+y)y + yx(x+y) + (x+y)yx - y^3 - (x+y)^3 - x^3 = 3xy(x+y) - y^3 - 3x^2y - 3y^2x - x^3 - y^3 - x^3 = -2(x^3+y^3). \] ### 二、排列的逆序数 #### 例题解析： **2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：** - **(1)** \(1234\) 这个排列没有逆序，因此逆序数为\(0\)。 - **(2)** \(4132\) 逆序数为\(4\)，具体的逆序对为\(41, 43, 42, 32\)。 - **(3)** \(3421\) 逆序数为\(5\)，具体的逆序对为\(32, 31, 42, 41, 21\)。 - **(4)** \(2413\) 逆序数为\(3\)，具体的逆序对为\(21, 41, 43\)。 - **(5)** \(13\ldots(2n-1)24\ldots(2n)\) 逆序数为\(\frac{n(n-1)}{2}\)，这是因为每个奇数都比它后面的所有偶数小，而一个偶数与它前面所有比它小的奇数形成逆序对。 - **(6)** \(13\ldots(2n-1)(2n)(2n-2)\ldots2\) 逆序数为\(n(n-1)\)，这是因为在这种排列中，每个奇数都比它后面的偶数小，且每个偶数都比它前面的奇数大，从而形成了特定数量的逆序对。 ### 三、行列式中含特定因子的项 #### 例题解析： **3. 写出四阶行列式中含有因子\(a_{11}a_{23}\)的项。** 四阶行列式的一般项形式为\((-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}a_{4p_4}\)，其中\(t\)为\(p_1p_2p_3p_4\)的逆序数。因为已给定了\(p_1=1, p_2=3\)，所以\(p_1p_2p_3p_4\)只能是\(1324\)或\(1342\)。对于这两种情况，分别计算对应的逆序数\(t\)： - 对于\(1324\)，逆序数\(t = 0 + 0 + 1 + 0 = 1\)。 - 对于\(1342\)，逆序数\(t = 0 + 0 + 0 + 2 = 2\)。 因此，含有因子\(a_{11}a_{23}\)的项为\(-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}\)和\(a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}\)。 ### 四、其他类型行列式的计算 #### 例题解析： **4. 计算下列各行列式：** - **(1)** \(\begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 0 & 2 \\ 10 & 5 & 2 & 0 \\ 7 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}\) 这是一个四阶行列式的计算问题，可以通过行列式的展开定理或者行（列）变换的方法来简化计算过程。这里省略具体计算步骤。 以上是《线性代数习题全集-同济四版》第一章“行列式”中的一些典型习题及其解答过程。这些例题涵盖了行列式的计算、逆序数的概念以及行列式中含特定因子的项等问题，有助于加深对行列式基本概念的理解和掌握。