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“rjlfdm”
2007/4/12
page iii
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Contents
Preface ix
I Boundary Value Problems and Iterative Methods 1
1 Finite difference approximations 3
1.1 Truncation errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Deriving finite difference approximations . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Second order derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Higher order derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 A general approach to deriving the coefficients . . . . . . . . . . 10
2 Steady States and Boundary Value Problems 13
2.1 The heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 The steady-state problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 A simple finite difference method . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Local truncation error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Global error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.9 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.10 Stability in the 2-norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.11 Green’s functions and max-norm stability . . . . . . . . . . . . . 22
2.12 Neumann boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.13 Existence and uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.14 Ordering the unknowns and equations . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.15 A general linear second order equation . . . . . . . . . . . . . . 35
2.16 Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.16.1 Discretization of the nonlinear BVP . . . . . . . . . 39
2.16.2 Nonuniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.16.3 Accuracy on nonlinear equations . . . . . . . . . . . 42
2.17 Singular perturbations and boundary layers . . . . . . . . . . . 44
2.17.1 Interior layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
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