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：数值微分方程求解方法——基于作业1的分析 ：这份作业涉及到数值方法在微分方程求解中的应用，包括差分方法的推导、显式与隐式方法的识别，以及特定初值问题的求解与误差分析。 【部分内容】： 1. (10pts) 后向欧拉方法的推导是通过积分公式来实现的。一种求解y'(t)=f(t,y)的方法是将方程从t_i积分到t_{i+1}，即∫_{t_i}^{t_{i+1}} y'(t) dt = ∫_{t_i}^{t_{i+1}} f(t, y) dt。然后使用数值积分规则近似这个积分。要推导出后向欧拉方法，需使用适当的数值积分规则。所使用的积分规则是后向区间平均法，它表示为∫_{a}^{b} g(x) dx ≈ (b - a)/2 [g(a) + g(b)]。 2. (10pts) 对以下几种差分方法进行显式或隐式分类，并给出理由： a. 这是显式方法，因为Y_{i+1}的表达式可以直接用Y_i和f的值来表示。 b. 这是隐式方法，因为Y_{i+1}出现在了右侧的f函数中，无法直接用已知的Y_i值求解。 c. 这是混合方法，因为它同时包含显式和隐式的特性，Y_{i+1}依赖于未来的值f(ti+1, Yi+1)。 d. 这是显式方法，所有的Y_i值都是已知的，可以直接计算。 e. 这是隐式方法，因为Y_{i+1}出现在了f函数中，必须解一个线性方程来求得。 3. (10pts) 考虑特定的初值问题y'(t) = t^3 + 5t + 10，t < 4，y(0) = 1： a. 前向欧拉方法的一步运算中，使用Δt = 0.1计算实际误差。在原点处的切线方程是y' = 16，根据前向欧拉方法得到的近似解与精确解、切线在同一坐标系中绘制。近似解位于精确解曲线上，因为在小步长下，前向欧拉方法的误差较小，且接近曲线的切线。 b. 前向欧拉方法的局部截断误差由展开式(Δt)^2 * 2! * y''(t) + (Δt)^3 * 3! * y'''(t) + ... 组成。由于y''(t) = 6t + 5，y'''(t) = 6，对于t = 0，所有涉及(Δt)^5及更高次幂的项都为零。当Δt = 0.1时，局部截断误差为0.001，这与a部分计算的实际误差相比较，说明局部误差在t = 0.1时与全局误差不同，因为全局误差还受到所有步长累积的影响。 本作业主要探讨了数值方法在求解微分方程中的应用，包括后向欧拉方法的推导，显式和隐式差分方法的辨认，以及针对特定初值问题的前向欧拉方法的误差分析。通过这些练习，学生可以深入理解数值解法的基本原理和其在实际问题中的应用。