抛物线法—二次插值法C++编程
抛物线法是一种精确的一维搜索方法，常用于最优化算法中。该方法通过迭代计算，逐步逼近函数的极小值点。下面是对抛物线法的详细解释和C++编程实现。
一、基本原理
抛物线法的基本原理是通过三点的函数值来确定下一个搜索点。假设有三个点x1、x0、x2，满足x1<x0<x2，且f1>f2>f2。则可以根据公式计算出下一个搜索点x：
x = 0.5 × ((x2^2 - x0^2) × f1 + (x1^2 - x2^2) × f0 + (x0^2 - x1^2) × f2) / ((x2 - x0) × f1 + (x1 - x2) × f0 + (x0 - x1) × f2)
其中，f1、f0、f2分别是x1、x0、x2三个点的函数值。
二、算法步骤
抛物线法的算法步骤如下：
Step1：若|x1 - x2| ≤ ε，则转Step10；否则转Step2。
Step2：若|(x2 - x0) × f1 + (x1 - x2) × f0 + (x0 - x1) × f2| ≤ ε，则转Step10；否则转Step3。
Step3：令x2 = a + 0.618(b - a)，计算f2 = f(x2)，然后转Step1。
Step4：计算x = 0.5 × ((x2^2 - x0^2) × f1 + (x1^2 - x2^2) × f0 + (x0^2 - x1^2) × f2) / ((x2 - x0) × f1 + (x1 - x2) × f0 + (x0 - x1) × f2)，然后计算fx = f(x)。
Step5：若f0 - fx < 0，则转Step6；若f0 - fx = 0，则转Step7；f0 - fx > 0，则转Step5。
Step6：若x0 > x，则令x2 = x0，x0 = x，f2 = f0，f0 = fx，转Step1；否则，x1 = x0，x0 = x，f1 = f0，f0 = fx，转Step1。
Step7：若x0 < x，则x1 = x0，x2 = x，f1 = f0，f2 = fx，转Step1；否则，x1 = x，x2 = x0，f1 = fx，f2 = f0，转Step1。
Step8：令x3 = 0.5 × (x1 + x0)，计算f3 = f(x3)。若f3 < f0，则x2 = x0，x0 = x3，f2 = f0，f0 = f3，转Step1；若f3 = f0，则x1 = x3，x2 = x0，x0 = 0.5 × (x1 + x2)，f1 = f(x3)，f2 = f0，f0 = f(x0)，转Step1；若f3 > f0，则x1 = x3，f1 = f3，转Step1。
Step9：令x1 = x，x2 = x0，x0 = 0.5 × (x1 + x2)，f1 = fx，f2 = f0，计算f0 = f(x0)，转Step1。
Step10：令x* = x0，f* = f0。
三、C++编程实现
下面是使用C++语言实现抛物线法的示例代码：
```c
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define f(x) x*x - x + 2
int main() {
double f0, f1, f2, f3, fx, x0, x1, x2, x3, e, x;
int k = 0;
e = 0.32;
printf("请输入 x1=");
scanf("%lf", &x1);
printf("请输入 x0=");
scanf("%lf", &x0);
printf("请输入 x2=");
scanf("%lf", &x2);
f1 = f(x1);
f0 = f(x0);
f2 = f(x2);
while (1) {
x = 0.5 * ((x2*x2 - x0*x0) * f1 + (x1*x1 - x2*x2) * f0 + (x0*x0 - x1*x1) * f2) / ((x2 - x0) * f1 + (x1 - x2) * f0 + (x0 - x1) * f2);
fx = f(x);
if (fabs(x1 - x2) <= e) {
printf("\n迭代次数为%d\nf(x)的最优解为%lf\n最优值为%f\n", k, x0, f0);
break;
}
if ((x2 - x0) * f1 + (x1 - x2) * f0 + (x0 - x1) * f2 <= e) {
printf("\n迭代次数为%d\nf(x)的最优解为%lf\n最优值为%f\n", k, x0, f0);
break;
}
if (f0 - fx < 0) {
if (x0 < x) {
x2 = x;
f2 = fx;
k++;
continue;
} else {
x1 = x;
f1 = fx;
k++;
continue;
}
}
// ...
}
return 0;
}
```
四、结论
抛物线法是一种高效的搜索方法，广泛应用于最优化算法中。通过对抛物线法的详细解释和C++编程实现，我们可以更好地理解和应用该方法。
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