【知识点梳理】
1. **平均变化率**：平均变化率是描述函数在某区间内变化快慢的概念，它是函数值的增量与自变量增量的比值。例如，在气球膨胀的例子中，平均膨胀率就是半径增加量与体积增加量的比值。计算公式为：`Δy/Δx`，其中`Δy`是函数值的改变，`Δx`是自变量的改变。平均变化率可以用来近似描述曲线在某段区间的增减趋势。
2. **瞬时变化率**：瞬时变化率是在某一特定时刻函数的变化率，即当时间间隔趋近于零时的平均变化率。在位移运动中，瞬时速度就是位置在某一瞬间的变化率。计算瞬时变化率通常涉及到极限的概念。
3. **导数**：导数是瞬时变化率的数学形式化表达，表示函数在某一点的切线斜率。如果函数`f(x)`在点`x = a`处的瞬时变化率是`L`，那么`f'(a)`或`Lim[Δx→0] (f(a + Δx) - f(a))/Δx`就等于`L`。导数体现了函数图像在该点的局部线性特性。
4. **求导数的方法**：求导数通常采用三步法：首先求出函数的增量`Δy`，然后计算平均变化率`Δy/Δx`，最后取极限`Δx → 0`得到导数。在实际计算中，可以简化为直接应用导数的运算法则和常见函数的导数表。
5. **导数的实际应用**：导数不仅用于理论分析，还可以解决实际问题，比如物理学中的瞬时速度和加速度。在质点运动的问题中，通过求解位移关于时间函数的导数，可以得到质点在特定时刻的速度。
【例题解析】
1. 类型一：求平均变化率。例如，例1求函数`f(x)`从`x = a`到`x = b`的平均变化率，需要计算`Δy = f(b) - f(a)`，然后除以`Δx = b - a`。通过计算可以得到平均变化率的值。
2. 类型二：利用定义求导数值。例如，例2要求函数`f(x)`在某点的导数，需要将`Δx`趋近于零，计算`Lim[Δx→0] (f(x + Δx) - f(x))/Δx`。
3. 类型三：实际问题中的应用。如例3，通过求解位移`s(t)`关于时间`t`的函数的导数，可以得到质点在特定时间`t`的瞬时速度，即`v(t) = ds/dt`。
【变式练习】
1. 变式1、2、3主要考察了求平均变化率和导数的计算，包括对给定函数进行微小增量处理并取极限的过程。
2. 变式练习旨在加深对平均变化率和导数概念的理解，通过具体计算训练解题技巧。
这些知识点和例题分析涵盖了人教版高中数学选修2-2中关于变化率、导数和求导的基本概念和计算方法，是家教、补习和自我复习的重要参考资料。通过理解和掌握这些内容，学生能够更好地理解和应用导数解决实际问题，提升数学素养。
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