考研数学公式

### 考研数学公式详解 #### 高等数学公式篇概述 在考研数学中，高等数学部分占据了相当大的比重，而掌握好基础的数学公式是解决各类问题的关键。下面将详细解读高等数学中的基本公式及其应用。 #### 平方关系 1. **正弦与余弦的平方和**：对于任意角度\( \alpha \)，都有\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \] 这个公式揭示了正弦和余弦函数之间最基本的关系，同时也是其他很多公式的推导基础。 2. **正切与余割的平方和**：\[ \tan^2(\alpha) + 1 = \sec^2(\α) \] 此公式表明了正切函数与余割函数之间的联系，其中\( \sec(\alpha) \)表示余割函数。 3. **余切与正割的平方和**：\[ \cot^2(\alpha) + 1 = \csc^2(\α) \] 类似地，这个公式展示了余切函数与正割函数之间的内在联系，其中\( \csc(\alpha) \)代表正割函数。 #### 积的关系 这些公式描述了三角函数之间的乘法关系： 1. **正弦、正切与余弦**：\[ \sin(\alpha) = \tan(\alpha) \cdot \cos(\alpha) \] 2. **余弦、余切与正弦**：\[ \cos(\α) = \cot(\alpha) \cdot \sin(\α) \] 3. **正切、正弦与余割**：\[ \tan(\α) = \sin(\α) \cdot \sec(\α) \] 4. **余切、余弦与正割**：\[ \cot(\α) = \cos(\α) \cdot \csc(\α) \] 5. **正割、正切与正割**：\[ \sec(\α) = \tan(\α) \cdot \csc(\α) \] 6. **正割、余切与余割**：\[ \csc(\α) = \sec(\α) \cdot \cot(\α) \] #### 倒数关系 这些公式展示了三角函数之间的倒数关系： 1. **正切与余切**：\[ \tan(\α) \cdot \cot(\α) = 1 \] 2. **正弦与余割**：\[ \sin(\α) \cdot \csc(\α) = 1 \] 3. **余弦与正割**：\[ \cos(\α) \cdot \sec(\α) = 1 \] #### 直角三角形中的三角函数 在直角三角形\( ABC \)中，角\( A \)的正弦值等于角\( A \)的对边比斜边，余弦值等于角\( A \)的邻边比斜边，正切值等于对边比邻边。 #### 三角函数的恒等变形公式 这一部分涉及到了三角函数的一些重要恒等式： 1. **两角和与差的三角函数**：\[ \begin{align*} \cos(α + β) &= \cosα \cdot \cosβ - \sinα \cdot \sinβ \\ \cos(α - β) &= \cosα \cdot \cosβ + \sinα \cdot \sinβ \\ \sin(α ± β) &= \sinα \cdot \cosβ ± \cosα \cdot \sinβ \\ \tan(α + β) &= \frac{\tanα + \tanβ}{1 - \tanα \cdot \tanβ} \\ \tan(α - β) &= \frac{\tanα - \tanβ}{1 + \tanα \cdot \tanβ} \end{align*} \] 2. **三角和的三角函数**：\[ \begin{align*} \sin(α + β + γ) &= \sinα \cdot \cosβ \cdot \cosγ + \cosα \cdot \sinβ \cdot \cosγ + \cosα \cdot \cosβ \cdot \sinγ - \sinα \cdot \sinβ \cdot \sinγ \\ \cos(α + β + γ) &= \cosα \cdot \cosβ \cdot \cosγ - \cosα \cdot \sinβ \cdot \sinγ - \sinα \cdot \cosβ \cdot \sinγ - \sinα \cdot \sinβ \cdot \cosγ \\ \tan(α + β + γ) &= \frac{\tanα + \tanβ + \tanγ - \tanα \cdot \tanβ \cdot \tanγ}{1 - \tanα \cdot \tanβ - \tanβ \cdot \tanγ - \tanγ \cdot \tanα} \end{align*} \] 3. **辅助角公式**：假设存在一个角\( t \)，使得\[ \begin{align*} \sin t &= \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \\ \cos t &= \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}} \\ \tan t &= \frac{B}{A} \end{align*} \] 则有\[ Asinα + Bcosα = \sqrt{A^2 + B^2} \sin(α + t) \] 或者\[ Asinα + Bcosα = \sqrt{A^2 + B^2} \cos(α - t) \] 以上介绍的是考研数学中高等数学部分的基础三角函数公式，这些公式不仅是考试的重点，也是后续学习中不可或缺的基础。掌握这些公式不仅有助于解答具体的题目，更能加深对数学本质的理解。