数学-23个函数与导函数类型专题.pdf
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23 个函数与导函数类型专题
1、函数第 1 题 已知函数
ln
()
x1
fx
x 1 x
，若
x0
，且
x1
，
ln
()
xk
fx
x 1 x
，求
k
的
取值范围.
解析：⑴ 将不等式化成
( )(*)k
模式
由
ln
()
xk
fx
x 1 x
得：
ln lnx 1 x k
x 1 x x 1 x
，化简得：
ln
2
2x x
k1
x1
①
⑵ 构建含变量的新函数
()gx
构建函数：
ln
()
2
2x x
gx
x1
（
x0
，且
x1
）
其导函数由
'
''
2
u u v uv
v
v
求得：
'( ) ( ln ln )
()
22
22
2
g x x x x x 1
x1
即：
'( ) [( ) ( )ln ]
()
22
22
2
g x x 1 x 1 x
x1
()
ln
()
22
2 2 2
2 x 1 x 1
x
x 1 x 1
②
⑶ 确定
()gx
的增减性
先求
()gx
的极值点，由
'( )
0
g x 0
得：
ln
2
0
0
2
0
x1
x0
x1
即：
ln
2
0
0
2
0
x1
x
x1
③
由基本不等式
ln x x 1
代入上式得：
2
0
0
2
0
x1
x1
x1
故：
2
0
0
2
0
x1
x 1 0
x1
即：
( )( )
0
2
0
1
x 1 1 0
x1
由于
2
0
1
1
x1
，即
2
0
1
10
x1
，故：
0
x 1 0
，即
0
x1
即：
()gx
的极值点
0
x1
在
0
x x 1
时，由于
2
2
x1
1
x1
有界，而
ln x0
无界
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