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数学-【数列12】数列微专题.pdf
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数学-【数列12】数列微专题.pdf
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第
1
页 共
103
页
数列微专题
目录
1 通项
...............................................................................................................................................
2
1.1 减项作差求通项
...................................................................................................................
2
1.2 递推求通项
...........................................................................................................................
7
2 性质
...............................................................................................................................................
9
3 构造数列
.....................................................................................................................................
13
3.1 构造等比数列
.....................................................................................................................
13
3.2 构造差数列
.........................................................................................................................
19
3.3 取倒类等差
.........................................................................................................................
23
3.4 构造对数
.............................................................................................................................
31
4 求和
.............................................................................................................................................
33
4.1 错位相减
.............................................................................................................................
33
4.2 裂项相消
.............................................................................................................................
37
4.3 指数裂项
.............................................................................................................................
39
4.4 奇偶并项
.............................................................................................................................
40
5 单调性
.........................................................................................................................................
48
6 周期性
.........................................................................................................................................
53
7 不动点
.........................................................................................................................................
57
8 放缩
.............................................................................................................................................
61
9 公式应用
.....................................................................................................................................
64
10 与三角结合
...............................................................................................................................
72
11 与函数性质结合
.......................................................................................................................
77
12 综合题
.......................................................................................................................................
88
第
2
页 共
103
页
1 通项
1.1 减项作差求通项
1.记
n
S
为数列
n
a
的前
n
项的和,若
2
2 1
n n
S a n n
,则
6
a
答案:11
解析:
2
2
1 6
2 1 1 2 1 11
n n n n
S a n n S n a n a
2.设数列
{ }
n
a
前
n
项和为
4 3 2
n n
S a n
,求
n
a
及
n
S
答案:
-1
10 4
3
3 3
n
n
a
、
103
3
4
10
1
nS
n
n
解析:
1
1
4 3 2
3
n n
S a n a
因为
4 3 2
n n
S a n
,①所以
1 1
4 3( 1) 2
n n
S a n
②
②-①得:
1 1 1 1
4 3 3 2 (4 3 2) 4 4 3
n n n n n n n
S S a n a n a a a
1 1
4 4
= 1 +3 = 3
3 3
n n n n
a a a a
所以
3
n
a
是以
3
10
为首项,
3
4
为公比的等比数列,
则
-1 -1
10 4 10 4
3= 3
3 3 3 3
n n
n n
a a
前
n
项和
103
3
4
10
1
nS
n
n
3.已知
n
S
是数列
{ }
n
a
的前
n
项和,
0
n
a
,
2
2 4 3
n n n
a a S
,则
{ }
n
a
的通项公式为____.
答案:
12 na
n
解析:
2
1
2 4 3 3
n n n
a a S a
或
1
1a
(舍)
因为
2
2 4 3
n n n
a a S
①,所以有
2
+1 +1 +1
2 4 3
n n n
a a S
②
②-①得:
2 2 2 2
+1 +1 +1 1 +1 +1
2 2 4 4 4 2 2 0
n n n n n n n n n n n
a a a a S S a a a a a
2 2
+1 +1 1 1
2 0 2 =0
n n n n n n n n
a a a a a a a a
第
3
页 共
103
页
因为
0
n
a
,所以
1
=2
n n
a a
;所以
{ }
n
a
是以 3 为首项,
2
为公差的等差数列,
则
12)1(23 nna
n
4.设数列
n
a
的前
n
项和是
n
S
,
1 1
,1, 3
n n
aa S
求
n
a
的通项公式.
答案:
1
4
n
n
a
解析:因为
1
,3
n n
a S
所以有
1
3 ,
n n
a S
两式做差有
1 1
1
3 3 3 4
n n
n
nnn
n
a
a a
a
a S S
所以
n
a
是以 1 为首项,4 为公比的等比数列,
1
4
n
n
a
5.设数列
n
a
满足
1
2
,1,
3
n n
a
n
S a
求
n
a
的通项公式.
答案:
2
2
nn
a
n
解析:因为
2
3
,
n n
n
S a
所以有
-1 -1
1
3
,
n n
n
S a
两式做差有
1 1 1
1
2 1 1 1
3 1
1
3 3 3
n
n
n
n n n n n
n
S
a
n n n n
S a a a a
a n
累乘法可得:
22
)1(
1
1
...
3
5
2
4
1
3
2
1
nn
a
nn
n
n
a
a
n
n
6.设数列
n
a
的前
n
项和是
n
S
,
1 1 1
,1,
n n n
a a S S
(1)求
n
S
;
(2)求
n
a
.
答案:
n
S
n
1
,
2,
)1(
1
11
n
nn
n
a
n
,
解析:
1 1 1 1
1
1 1
1
n n n n n n n
n n
a S S S S S S
S S
所以数列
1
n
S
是以
1
1
1
S
为首项,以-1 为公差的等差数列,
第
4
页 共
103
页
nn
S
n
)1(1
1
,所以
n
S
n
1
)1-(
1
1-
11
1-
11
1-1-
nnnn
SSa
n
S
n
S
nnnnn
,
所以
2,
)1(
1
11
n
nn
n
a
n
,
7.已知数列
n
a
的前
n
项和是
n
S
,
1
1,a
2
2
( 2)
2 1
n
n
n
S
n
S
a
.
(1)证明:数列
1
n
S
是等差数列;
(2)求数列
n
a
的通项公式.
答案:(1)见解析(2)
32
1
12
1
nn
a
n
解析:因为
2
2
2 1
n
n
n
a
S
S
,所以有
2
2
1 1
2
2 1 2
2 1
n
n n n n n n
n
S
S S S S S S
S
2 2
1 1 1 1
22 2 2 0
n n n n n n n n n n
S S S S S S S S S S
1 1
1
1 1
2 2
n n n n
n n
S S S S
S S
所以数列
1
n
S
是以
1
1
1
S
为首项,以 2 为公差的等差数列,且
12)1(21
1
nn
S
n
(2)由上可得
32
1
12
1
,
32
1
12
1
11
nn
SSa
n
S
n
S
nnnnn
8.设数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
, 且
1 2
1,a a
( 2)
n n
nS n a
为等差数列, 则
n
a
的通项公式
n
a
答案:
1
2
n
n
n
a
解析:设
( 2)
n n n
b nS n a
,
数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
,且
1 2
1,a a
1 2
4, 8,b b
1
( 1) (8 4) 4
n
b b n n
第
5
页 共
103
页
即
( 2) 4
n n n
b nS n a n
;
当
2n
时,
1 1
2 2
(1 ) (1 ) 0
1
n n n n
S S a a
n n
1
2( 1) 1
1
n n
n n
a a
n n
,
即
1
2
1
n n
a a
n n
,
n
a
n
是以
1
2
为公比,1 为首项的等比数列,
1
1
2
n
n
a
n
1
2
n
n
n
a
9. 已知数列
n
a
的前
n
项和是
n
S
,
1
3=
3
2
.
n
n n
aS
(1)求证:
3
n
n
a
为等差数列.
(2)求数列
n
a
的通项公式.
答案:
+2) 3(4
n
n
na
解析:
1
1
1 1
= 9 1
3
8
3
3
2 2
n
n n
S a aa a
1 1
-1 -1 -1 -1
3 3 3 3
3 3 3 3
2
=
2
=
2
= .
2
n n n n
n n n n n n n n
S S S Sa a a a
-1
-1 -1
1
= 2 =3
1 3
3 3
2 2
4
3
= 4
3
n n
n n
n n n n
n n
a a
a a a a
所以
3
n
n
a
是以
6
3
1
a
为首项,-4 为公差的等差数列,且
6 4( 1) 4 2
3
n
n
n n
a
(2)由上面可得
+2) 3(4
n
n
na
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