### 经典教材《算法导论》答案解析
#### 一、引言
《算法导论》是一本经典的计算机科学教材，由Thomas H. Cormen、Charles E. Leiserson、Ronald L. Rivest等人编写。这本书不仅系统地介绍了算法的基础理论与实践应用，还提供了大量的练习题供读者巩固所学知识。为了帮助读者更好地理解和掌握书中的内容，有人整理了部分习题的解答，这些解答虽然不能保证完全正确，但对于自学或复习的学生来说仍具有较高的参考价值。
#### 二、重要知识点解析
##### 1. 插入排序与归并排序的性能比较
- **题目描述**：当输入规模 \( n \) 较小时，插入排序的表现优于归并排序。具体来说，当满足条件 \( 8n^2 < 64n\lg n \) 时，插入排序优于归并排序。根据这一条件，计算出具体适用的 \( n \) 值范围。
- **解析**：通过代入不等式 \( 8n^2 < 64n\lg n \)，可以解得 \( n < 8\lg n \)。利用计算器求解可得到此不等式成立的 \( n \) 的范围为 \( 2 \leq n \leq 43 \)。这意味着对于小于等于 43 的输入规模，插入排序的效率高于归并排序。
- **优化建议**：为了避免归并排序在小规模数据上的效率问题，可以在归并排序中加入一个阈值，当输入规模小于等于 43 时，采用插入排序替代归并排序，从而提高整体算法的效率。
##### 2. 时间复杂度的对比分析
- **题目描述**：假设所有月份为 30 天，所有年份为 365 天。给出不同时间单位下的对数函数、平方根函数、线性函数、线性对数函数、二次函数、三次函数以及指数函数的时间复杂度对比。
- **解析**：
- 对数函数 \( \lg n \)：从秒到世纪的增长速度较慢，但最终会超过线性函数。
- 平方根函数 \( \sqrt{n} \)：增长速度比线性函数快，但仍然比多项式函数慢。
- 线性函数 \( n \)：随着时间单位的增长，其值也线性增加。
- 线性对数函数 \( n\lg n \)：介于线性和二次之间，随时间单位增长而显著增加。
- 二次函数 \( n^2 \)：增长速度快于线性函数和线性对数函数，但慢于立方函数。
- 三次函数 \( n^3 \)：增长速度非常快，远超前面的所有函数。
- 指数函数 \( 2^n \)：增长速度极快，随着 \( n \) 的增加，其值迅速上升。
##### 3. 算法设计与分析
- **题目描述**：设计一个线性搜索算法，并给出其循环不变量。
- **解析**：
- **算法设计**：
```plaintext
Algorithm LINEAR-SEARCH(A, v)
Input: A = ⟨a1, a2, ..., an⟩ and a value v.
Output: An index i such that v = A[i] or nil if v ∉ A
for i ← 1 to n do
if A[i] = v then
return i
endif
endfor
return nil
```
- **循环不变量**：在每次循环迭代结束时，可以确定数组 \( A \) 中索引 \( [1, i-1] \) 范围内的元素都不等于 \( v \)。这确保了算法在完成循环后能够正确判断 \( v \) 是否存在于数组中。
- **题目描述**：修改插入排序算法，使其按非递增顺序排序。
- **解析**：插入排序的基本思想是将数组分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分取出一个元素插入到已排序部分的适当位置。为了实现非递增排序，只需要在插入排序算法中第 5 行的条件语句从 \( A[i] > key \) 修改为 \( A[i] < key \) 即可。
#### 三、结论
《算法导论》作为一本经典的计算机科学教材，深入浅出地讲解了算法的设计与分析方法。通过对书中部分习题的解答进行分析，我们可以更深刻地理解各种算法的工作原理及其优劣之处。同时，通过实践操作来加深对理论知识的理解也是学习算法的重要手段之一。
