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卫星几何关系对定位精度的影响 卫星几何关系对定位精度的影响是 GPS 定位技术中的一个重要课题。卫星几何关系指的是卫星与用户之间的几何位置关系，它对定位精度的影响是非常大的。在本文中，我们将讨论卫星几何关系对定位精度的影响，并推导出卫星几何关系对定位精度的影响公式。 我们需要定义一些变量。假设 s 表示从地心到卫星的向量，u 代表从地心到用户位置的向量，用 r 表示从用户到卫星的偏移向量。则 r 与 s,u 之间的关系是：r= s-u (1) 距离 ||r|| 可通过测量 GPS 接收机接收的卫星信号的时间延迟获得，这种式获得的距离 ||r|| 称为伪距，因为时间延迟中包含有 GPS 接收机与系统时的偏差。 假设第 j 颗卫星与 GPS 接收机之间的伪距用 j 表示，则 j 可用式 (2) 表示：bjjct||u-s||（2）式中，c 表示光速，bt 是 GPS 接收机与系统时的偏差，||u-s||j 表示第 j 颗卫星与用户之间的真距。 如果用),,(uuuzyx 和),,(jjjzyx 分别表示用户和第 j 颗卫星的三维位置坐标，则 j 可表示为：bujujujjctzzyyxx222)()()(j=1,2,3,4（3） 用),,(^^^uuuzyx 表示在用户实际位置附近的某位置，可以对式(3) 在),,(^^^uuuzyx 附近展开成 Taylor 级数，并且忽略高次项，这样就完成了对式 (3) 的线性化。 buzuyuxctzayaxajjj^jjj- (4) 像 j 一样，^j 表示在用户附近),,(^^^uuuzyx 到卫星的伪距。这里，^uuu^^jujraj , zyx,,（5） 2^2^^2^^)()()(ujujujjzzyyxxr 可以把式 (5) 写成紧凑的矩阵形式：buuuzyxzyxzyxzyxtczyxaaaaaaaaaaaa11114443332221114321（6） 或者写成更简洁的形式：xH（7） 矩阵 H 有时称为视度矩阵，它是一个 nx4 矩阵，z 4。式(7)描述了用户位置误差和时钟偏差与测距误差的近似线性关系，一般，可将伪距误差看作是随机的。这些随机变量的关系依据式(7) 可描述成：eHdxd (8) 这里，e 是误差向量，一般 , 可 假设 E[e]=0 。对于接近地球的用户可认为 e 是服从 Gaussian 分布的。 式 (8) 的解可以用最小二乘法获得，解的意义在于使2|||| e最小。式 (8) 的解可以表示如下：dHdx（9） 式中，TTHHHH1)( (10) 应该指出 , 如果 d的协方差矩阵cov( d) 不是对角线元素相等的对角矩阵， (9) 并不是最优的定位结果，这种情况下，加权的最小二乘法将会有更好的定位结果。 在卫星数量不足的情况下，这时，n <4 1-(）TTHHHH (11) 显然，少于 4 颗卫星是不能计算出有效的定位结果的，但，其它传感器的数据 ( 例如：高度数据、 精确时钟数据 ) 与测距信息融合，依然可以获得有效的定位结果。 dx 的协方差阵可以由式 (9) 推出：TTTTHdHHddHEdxdxEdx))(cov(])([][)cov(）（(12) 式(12) 要求用户和卫星之间的几何关系是不变的，实际上， 在短时间内，可以认为用户和卫星的几何关系不变。 测距误差协方差阵)cov( d可以表示为更方便的形式：2)cov(uerenKd (13) 这里,nK 是对称正定矩阵，2uere 是用户等效的测距误差方差。 设定2222............)cov(buuuctyxdx (14) 式(14) 的对角线以外元素对下面的讨论并不重要, 可以忽略，这样 GDOP 可以定义如下：uerectzyxuuuuGDOP/2222 (15) 或者2222*uuuuctzyxuereGDOP (16) 式(16) 说明 GDOP 是测量误差导致的定位误差的放大因子。 2 GDOP 的范围在 1 中，已证明了卫星数量的增加只会减小 GDOP。从理论上分析，GDOP 的上界会因为卫星几何的变坏, 而趋于无限，但 GDOP 的下界否达到理想值 1 呢？下面将给出证明。 实际上， GDOP 就是1)(HHT 的 迹(Trace) 。假设：11111111(444333222111432143214321zyxzyxzyxzyxzzzzyyyyxxxxTaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaHHA）443322114124124124............aaaaaaaiziyixiii（17） 注意到矩阵}{ia，zyx,, 中，ia 表示三个方向的方向余弦，所以4iia。从矩阵理论可知，如果 A 是对称正定矩阵，1AB，它们的对角元素分别用 iia 和 iib 表示，那么，不等式1iiii ba 始终成立。利用这一结论，可以确定 GDOP的大概范围。 假定 A=HHT，那么 GDOP 可以表示成如下形，（18） 式(18) 说明了 GDOP 的范围在 1 到无限之间。从理论上分析，GDOP 的下界是 1，当卫星几何关系是最优的时候，GDOP 就是 1。在实际应用中，GDOP 通常大于 1，这是因为卫星几何关系的不确定性和测量误差的存在。 卫星几何关系对定位精度的影响是非常大的。为了获得高精度的定位结果，需要尽量减小 GDOP 的值。可以通过增加卫星数量、改善卫星几何关系和提高测量精度来减小 GDOP。