连续型随机变量的分布与例题讲解定义
连续型随机变量的分布是概率论中的一种重要概念，它描述了随机变量的可能取值范围和对应的概率密度。下面是连续型随机变量的分布的定义和性质：
定义：对于随机变量X的分布函数F(X)，若存在非负函数f(x)，使对于任意的实数x，有F(x) = ∫[−∞,x] f(t)dt，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。
性质：
1. f(x) ≥ 0
2. ∫[−∞,∞] f(x)dx = 1
3. F(x)是连续函数
4. F(x)是单调递增函数
特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即P(X=x) = 0（但{X=x}并不一定是不可能事件）
密度函数f(x)的性质：
1. f(x)不是概率
2. f(x) ≥ 0
3. ∫[−∞,∞] f(x)dx = 1
例1：设随机变量X的分布函数为F(x) = A + B arctan(x)，求（1）系数A和B，（2）P(-1<X<1)，（3）密度函数f(x)。
分析：主要是应用分布函数的性质。
解（1）：由F(-∞) = 0,F(+∞) = 1得0 ≤ F(x) ≤ 1，解之，得A = 1/2,B = 1/π
（2）：由（1）知F(x) = 1/2 + 1/π arctan(x)，故得P(-1<X<1) = F(1) - F(-1) = 1/2 + 1/π - (-1/2 + 1/π) = 1 - 2/π
（3）：f(x) = (1/π) / (1 + x^2)
例2：设随机变量X的概率密度函数为f(x) = 3x^2, x ≥ 0，试确定常数k，并求其分布函数F(x)和P{X>0.1}。
解：由f(x) ≥ 0和∫[0,∞) f(x)dx = 1得k = 3，F(x) = 1 - e^(-x^3)，P{X>0.1} = 1 - F(0.1) = e^(-0.001) ≈ 0.7408
（二）正态分布
定义：设随机变量X的概率密度函数为f(x) = (1/√(2π)) e^(-((x-μ)^2)/(2σ^2))，其中μ和σ为常数，则称X服从参数为μ和σ的正态分布，记作X ~ N(μ,σ^2)。
性质：
1. 曲线关于x对称
2. 当x = μ时，f(x)取到最大值
标准正态分布：
特别地，当μ = 0, σ = 1时，称X服从标准正态分布，记作X ~ N(0,1)。相应的概率密度函数和分布函数分别记为f(x) = (1/√(2π)) e^(-x^2/2)和Φ(x)。
例3：设随机变量X ~ N(0,1)，查表计算：
（1）P(X ≤ 2.5) = Φ(2.5) = 0.993790
（2）P(X > 2.5) = 1 - P(X ≤ 2.5) = 1 - Φ(2.5) = 0.006210
（3）P(|X| < 2.5) = P(-2.5 < X < 2.5) = Φ(2.5) - Φ(-2.5) = 2Φ(2.5) - 1 = 0.987580
引理：若X ~ N(μ,σ^2)，则Z = (X - μ) / σ ~ N(0,1)。
证：-Z的分布函数为F(x) = Φ(x)，由标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。
例如，设X ~ N(μ,σ^2)，则它的分布函数F(x)可写成：
F(x) = Φ((x - μ) / σ)
因此，可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。
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