《点集拓扑讲义》第七章紧致性学习笔记2.pdf
本笔记将详细介绍紧致空间和紧致子的定义、判断方法、性质和相关定理。
紧致空间的定义
在§ 5.3 中,我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间,即 Lindeloff 空间。现在,我们将 Lindeloff 空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”,以定义紧致空间。
定义 7.1.1 设 X 是一个拓扑空间。如果 X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖,则称拓扑空间 X 是一个紧致空间。
紧致子的定义
定义 7.1.2 设 X 是一个拓扑空间,Y 是 X 中的一个子集。如果 Y 作为 X 的子空间是一个紧致空间,则称 Y 是拓扑空间 X 的一个紧致子集。
判定紧致子的方法
根据定义,拓扑空间 X 中的一个子集 Y 是 X 的紧致子集意味着每一个由子空间 Y 中的开集构成的 Y 的开覆盖有一个有限子覆盖。这并不明显地意味着由 X 中的开集构成的每一个 Y 的覆盖都有有限子覆盖。因此,陈述以下定理是必要的。
定理 7.1.1 设 X 是一个拓扑空间,Y 是 X 中的一个子集。则 Y 是 X 的一个紧致子集当且仅当每一个由 X 中的开集构成的 Y 的覆盖都有有限子覆盖。
紧致空间的等价说法
下面介绍关于紧致性的一个等价说法。
定义 7.1.3 设 A 是一个集族。如果 A 的每一个有限子族都有非空的交(即如果是 A 的一个有限子族,则),则称 A 是一个具有有限交性质的集族。
定理 7.1.2 设 X 是一个拓扑空间。则 X 是一个紧致空间当且仅当 X 中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交。
紧致空间的基
如果 B 是紧致空间 X 的一个基,那么由 B 中的元素构成的 X 的一个覆盖当然是一个开覆盖,因此有有限子覆盖。
定理 7.1.3 设 B* 是拓扑空间 X 的一个基,并且 X 的由 B* 中的元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖。则 X 是一个紧致空间。
紧致空间的连续映射
定理 7.1.4 设 X 和 Y 是两个拓扑空间,f:X →Y 是一个连续映射。如果 X 是一个紧致空间,那么 Y 也是一个紧致空间。
本笔记详细介绍了紧致空间和紧致子的定义、判断方法、性质和相关定理,为读者提供了系统的学习资源。