同济六版高等数学第一章第二节课件[宣贯].ppt

高等数学是数学的基础课程之一，尤其对于理解和应用数学概念至关重要。在同济大学第六版的高等数学教材中，第一章的第二节课主要讲述了数列极限的概念及其性质。数列极限是数学分析的基础，它探讨的是数列随其项数无限增加时，数值趋近于某个特定值的过程。 数列被定义为按照一定法则对应每个正整数n产生一个实数xn的序列。例如，数列2, 4, 8, ..., 2^n,...显示了每次乘以2的整数幂，而数列1, -1, 1, -1,...则呈现出正负交替的规律。数列也可以看作是自变量n的函数，即xn=f(n)，其中n属于正整数集合。 数列的几何意义是将数列的每一项在数轴上表示，随着n的增加，这些点会形成一个轨迹。当数列收敛时，这个轨迹趋向于一个特定点，这个点就是数列的极限。刘徽的割圆术提供了一个直观的例子，通过不断分割圆内接正多边形的面积来逼近圆的面积，随着边数n的无限增大，内接正多边形的面积An越来越接近圆的面积S。 数列极限的通俗定义是：当n趋向于无穷大时，数列的一般项xn趋向于常数a，即xn无限接近a。这可以通过观察xn与a的差的绝对值|xn-a|来理解，当n足够大时，|xn-a|可以变得任意小，小于任何预先设定的正数。 数学上，数列极限的精确定义是：如果对于任何给定的正数ε，总能找到一个正整数N，使得当n>N时，不等式|x_n-a|<ε恒成立，那么a就是数列{x_n}的极限，记作lim(n→∞)xn=a。若没有这样的常数a，数列就被认为是发散的，极限不存在。 这个定义揭示了数列极限的两个关键属性：任意性和唯一性。任意性是指无论ε多么小，都能找到一个N使得xn接近a；唯一性则意味着如果一个数列有两个不同的极限，那它实际上是不存在极限的。 数列极限的性质包括保号性、传递性、唯一性、四则运算法则等。保号性表明，如果数列{x_n}收敛于a且所有项都是正的，那么lim(n→∞)(x_n)^k=a^k。传递性则告诉我们，如果数列{x_n}和{y_n}分别收敛于a和b，那么数列{x_n+y_n}收敛于a+b，数列{x_n*y_n}收敛于a*b（假设y_n不趋于0）。 数列极限的理论和应用广泛，它是微积分、实分析和复分析等领域的重要基础，对于解决实际问题如物理学、工程学中的连续性、稳定性等问题具有重要作用。掌握数列极限的概念和性质是深入学习高等数学的必备前提。