### 数理逻辑基础知识点梳理
#### 一、命题逻辑的基本概念
**1.1 命题及其符号化**
- **1.1.1 命题的含义**
- 定义：命题是能够判断真假的陈述句。
- 特点：命题必须能够明确地给出一个真或假的结果，不能包含模棱两可的语言。
- **1.1.2 简单命题与复合命题**
- **简单命题**：不能进一步分解为更小的命题单元。
- **复合命题**：由两个或多个简单命题通过逻辑联结词组合而成。
- 示例：
- “今天天气晴朗”是一个简单命题。
- “今天天气晴朗并且温度适宜”是一个复合命题，由两个简单命题通过“并且”联结而成。
- **1.1.3 命题联结词**
- 常见的命题联结词包括：“非”（¬）、“与”（∧）、“或”（∨）、“蕴含”（→）和“等价”（↔）。
- **非（¬）**：否定一个命题。
- **与（∧）**：表示两个命题同时为真时整个表达式才为真。
- **或（∨）**：表示两个命题中至少有一个为真时，整个表达式为真。
- **蕴含（→）**：如果前件为真且后件也为真，或者前件为假，则整个蕴含表达式为真。
- **等价（↔）**：两个命题在逻辑上完全相同，即它们要么同时为真，要么同时为假。
- **1.1.4 自然语言命题的符号化**
- 将自然语言中的命题转换成符号形式的过程。
- 示例：将“如果明天下雨，那么我不去公园”符号化为“P → ¬Q”，其中P代表“明天下雨”，Q代表“我去公园”。
**1.2 命题逻辑公式及其真值**
- **1.2.1 命题逻辑公式的定义**
- 命题逻辑公式是由命题变量和命题联结词组成的表达式。
- 示例：P ∧ Q 是一个命题逻辑公式。
- **1.2.2 命题逻辑公式的真值**
- 命题逻辑公式可以通过真值表来确定其真假情况。
- 对于一个含有n个不同命题变量的公式，真值表共有2^n行，每一行代表一种变量组合情况下的真值结果。
#### 二、命题逻辑的等值演算
**2.1 等值演算基础**
- **2.1.1 公式等值的含义**
- 两个命题逻辑公式如果在所有可能的情况下都具有相同的真值，则这两个公式等值。
- 示例：公式 P ∨ ¬P 和公式 T（永远为真的命题）等值。
- **2.1.2 等值演算**
- 等值演算是根据一系列等值规则来简化或变换命题逻辑公式的方法。
- 示例：P ∨ P 等值于 P；P ∧ T 等值于 P。
**2.2 联结词的完备集**
- 仅使用某些特定的命题联结词可以表达所有其他命题联结词的功能。
- 示例：{¬, ∨} 和 {¬, ∧} 都是完备集。
**2.3 命题逻辑公式的范式**
- **2.3.1 析取范式和合取范式**
- 析取范式(DNF)：由若干个简单命题的合取式的析取组成。
- 合取范式(CNF)：由若干个简单命题的析取式的合取组成。
- **2.3.2 主析取范式和主合取范式**
- 主析取范式(MDNF)：每个析取项都包含了所有命题变量，每个变量都以原形或否定形式出现一次。
- 主合取范式(MCNF)：每个合取项都包含了所有命题变量，每个变量都以原形或否定形式出现一次。
- **2.3.3 主范式的应用**
- 主范式在计算机科学和电子工程中用于电路设计、逻辑优化等方面。
#### 三、命题逻辑的自然推理
**3.1 推理的形式结构及其有效性**
- 推理的有效性是指如果前提是真的，则结论也必定是真的。
- 形式推理关注的是论证结构是否正确，而不考虑具体命题的真假。
**3.2 自然推理系统**
- **3.2.1 自然推理系统的基本规则**
- 包括引入规则、消解规则等，用于推导出新命题。
- **3.2.2 证明序列的构造**
- 如何按照一定的步骤从已知的前提推导出结论的过程。
- **3.2.3 自然推理的派生规则**
- 派生规则是从基本规则推导出的新规则。
- **3.2.4 自然推理系统小结**
- 总结自然推理系统的构成要素及其应用方法。
**3.3 自然推理系统应用举例**
- 提供具体的例子来展示如何使用自然推理系统解决问题。
#### 四、命题逻辑的演算系统
**4.1 形式系统的基本概念**
- 形式系统是一组符号、语法和规则的集合，用于定义逻辑演算。
**4.2 命题逻辑的公理化演算系统**
- **4.2.1 公理化演算系统的公式**
- 定义了哪些字符串可以被视为有效的命题逻辑公式。
- **4.2.2 公理演算系统的内定理**
- 内定理是指那些可以直接从公理系统中得到的定理。
- **4.2.3 公理化演算系统的内定理证明**
- 证明一个定理是否可以从给定的公理出发，通过有限步的推理得到。
**4.3 形式系统的元理论**
- **4.3.1 公理化演算系统的形式语义**
- 描述公理化演算系统的语义属性，如真值评估。
- **4.3.2 公理化演算系统的一致性与完备性**
- 一致性意味着系统中不存在矛盾；
- 完备性意味着系统能够证明所有真实的命题。
#### 五、一阶逻辑的基本概念
- **5.1 个体、谓词与量词**
- 个体：逻辑中的对象。
- 谓词：用来描述个体性质或个体间关系的表达式。
- 量词：包括全称量词（∀）和存在量词（∃），用于表示对所有个体或某些个体的性质或关系的断言。
- **5.2 自然语言命题的符号化**
- **5.2.1 不涉及量词的命题的符号化**
- **5.2.2 涉及量词的基本命题的符号化**
- **5.2.3 涉及重叠量词的命题的符号化**
- **5.2.4 涉及量词的复合命题的符号化**
- **5.2.5 小结**
- **5.3 一阶谓词逻辑公式的定义**
- 一阶公式的符号、归纳定义、约束变量与自由变量等概念。
- **5.4 一阶公式的真值**
- 包括非逻辑符号的解释、个体变量指派函数、一阶公式真值的确定以及一阶公式的类型。
#### 六、一阶逻辑的等值演算
- **6.1 一阶逻辑的基本等值式**
- 一阶逻辑中的等值规则。
- **6.2 一阶逻辑的等值演算举例**
- 通过实例展示如何应用等值规则简化一阶逻辑公式。
- **6.3 一阶公式的前束范式**
#### 七、一阶逻辑的自然推理
- **7.1 一阶逻辑推理的有效性**
- 如何判断一阶逻辑推理的有效性。
- **7.2 与量词有关的推理规则**
- 量词引入规则、量词消除规则等。
- **7.3 一阶逻辑的自然推理举例**
- 使用具体例子说明如何在一阶逻辑中进行自然推理。
#### 八、非经典逻辑简介
- **8.1 非经典逻辑概述**
- 介绍除了经典逻辑之外的其他逻辑体系。
- **8.2 直觉逻辑简介**
- **8.2.1 直觉主义与直觉逻辑**
- **8.2.2 命题真值的直觉逻辑解释**
- **8.2.3 直觉逻辑的演算系统**
- **8.3 多值逻辑简介**
- 介绍多值逻辑的基本概念和几种典型的多值逻辑系统。
- **8.4 模糊逻辑简介**
- 模糊逻辑处理模糊性和不确定性。
- **8.5 模态逻辑简介**
- **8.5.1 模态命题与模态算子**
- **8.5.2 模态公式及其可能世界语义**
- **8.5.3 模态逻辑的演算系统**
- **8.6 小结**
以上是对“中大数理逻辑教案-不错的数理逻辑教案”的知识点详细梳理。通过这些知识点的学习，读者可以深入了解数理逻辑的基础概念和核心原理，并掌握如何运用这些原理解决实际问题。
