第一章 极 限
数学分析以极限为工具，以函数为研究对象，主要研究函数的连续性、可微性和可积
性，及其相关问题和应用。
极限理论是分析的基础，是分析中难点之一，其中心问题有两个：极限的存在性和极限
的计算，两者是密切相关的。本章通过若干例题，总结了求解数列极限和函数极限的常用方
法.
Ⅰ 基本概念和主要结果
一 数列极限
1 定义 设
{
为数列， 为定数. 若
}
n
a
a
0,0 >
>∀ N
，使得当 时有
Nn >
ε
<− aa
n
，
则称数列
{
收敛于 a，a 称为数列
{
的极限，并记作
}
n
a
}
n
a
aa
n
n
∞→
lim
.
2 几何意义：
aa
n
n
∞→
lim
的充要条件是：
0>
，邻域
),(
aU
之外至多含有数列
中的有限项.
{}
n
a
3 性质
性质 1（唯一性）收敛数列的极限是唯一的。
性质 2（有界性） 收敛数列必有界。
性质 3（保号
性） 若
0lim >
∞→
aa
n
n
，则
0>
N
，当 时，有 .
Nn >
0>
n
a
性质 4（保不等式性）设
{
与
{
均为数列. 若存在正数 ，使得当 时有
，则
}
n
a
}
n
b
0
N
0
Nn >
nn
ba ≤
n
n
n
n
ba
∞→∞→
limlim
.
性质 5 改变数列的有限项不改变数列的敛散性，且不改变收敛数列的极限。
性质 6（迫敛
性） 设收敛数列
{
与
}
n
a
}
n
b 均以 a 为极限，数列
}
n
c 满足： ，当
时，有
0>∃N
Nn >
nnn
bca
，则数列 收敛，且
{}
n
c
ac
n
n
∞→
lim
.
性质 7（柯西收敛准则）数列
{
收敛的充要条件是：
}
n
a
,0,0 >
>
N
当
Nmn >,
1
