MATLAB教程：第八章 积分与数值积分.ppt

MATLAB 是一种强大的数学软件，尤其在数值计算和符号计算方面有着广泛的应用。在本教程的第八章中，我们将深入探讨积分与数值积分的概念及其在MATLAB中的实现。 首先，我们来看符号积分。符号积分是MATLAB中用syms声明符号变量后，使用int函数进行的积分计算。例如，我们可以定义一个符号变量x，然后对不同的函数进行积分运算。例如，计算∫(1+x^4)^(-1)dx，可以写作`syms x; y1=1/(1+x^4); fy1=int(y1)`。MATLAB的int函数不仅能计算不定积分，还能计算定积分，如`fy2=int(y2,0,1)`，这将计算函数在指定区间内的积分。 接下来，我们转向数值积分。在实际工程和科研中，许多函数的积分无法用初等函数表示，或者函数本身只有离散点的数据，这时就需要使用数值积分方法。MATLAB 提供了多种数值积分函数，如quad、trapz等。 quad函数是基于变步长辛普森法的，它用于连续函数的积分计算。例如，计算函数f(x)=sin(x)./x在π/4到π/2区间的积分，可以通过`ac=@(x)sin(x)./x; s=quad(ac,pi/4,pi/2)`来完成。quad函数还可以设置精度控制值和是否显示积分过程。 另一方面，trapz函数采用梯形法则，适用于离散数据的积分计算。例如，我们可以在两个不同的分辨率下计算同一函数的积分，通过改变x的采样点，对比结果。这可以通过`x1=pi/4:pi/50:pi/2; y1=ac(x1); s2=trapz(x1,y1)`和`x2=pi/4:pi/100:pi/2; y2=ac(x2); s3=trapz(x2,y2)`来实现。 在实际应用中，比如神州六号载人飞船的例子，我们可以用数值积分来计算飞船在椭圆轨道上的总飞行距离。首先，我们需要根据椭圆的几何性质建立模型，计算出椭圆的周长，这可以通过数值积分解决。在MATLAB中，我们可以定义一个关于角度t的函数g，表示椭圆上点的弧长，然后使用quad函数计算积分，得到椭圆的周长。最后，结合飞船的轨道圈数和圆形轨道的高度，即可计算出总的飞行公里数。 总之，MATLAB为积分计算提供了强大的工具，无论是符号积分还是数值积分，都能方便地处理各种复杂的积分问题，满足不同场景的需求。在实际使用中，根据函数的特性和计算要求选择合适的积分方法，能够提高计算的效率和准确性。