在数值计算领域，解线性代数方程组是一个核心问题。迭代法是解决这类问题的一种有效策略，尤其适用于大型稀疏系统。本课件主要关注第二章中的解线性方程组的迭代法，这一方法对于那些直接解法难以实施或者计算成本过高的情况非常有用。
迭代法的基本思想是通过不断近似，逐步提高解的精度，直到达到预设的终止条件。例如，对于给定的线性方程组，我们可以构造一个迭代公式，每次迭代都将当前解更新为更接近真实解的新解。
在讨论迭代法之前，我们需要了解一些基本概念，如向量和矩阵的范数以及谱半径。范数是一个衡量向量大小的标准，它可以是1范数、2范数（欧氏范数）或无穷范数。这些范数都满足非负性、齐次性和三角不等式。例如，1范数是向量各元素绝对值之和，2范数是向量的欧氏长度，而无穷范数则是向量中最大元素的绝对值。
范数的性质在分析迭代法的收敛性时起到关键作用。如果两个向量的范数之差足够小，我们就可以说这两个向量是“接近”的。在解线性方程组的过程中，我们通常会寻找一种迭代方式，使得每次迭代后的解与前一次解的范数之差逐渐减小，最终趋近于零，即达到解的精确度。
矩阵的范数是矩阵理论中的一个重要概念，它可以看作是矩阵作用于向量上的效果的度量。算子范数是基于向量范数定义的，例如，矩阵A的2范数是其所有特征值的平方根中的最大值，它描述了矩阵A将单位向量放大到多大。矩阵的谱半径则与矩阵的稳定性有关，它是所有特征值的绝对值的最大值。
在实际应用中，选择合适的迭代方法和迭代步长至关重要。这通常涉及到对线性方程组系数矩阵的性质的理解，比如其条件数、是否对角占优等。迭代法包括共轭梯度法、高斯-塞德尔迭代、雅可比迭代等，它们各有优缺点，适用于不同的问题。
总结来说，本课件深入探讨了解线性方程组的迭代法，包括向量和矩阵的范数及其性质，这些基础知识对于理解和应用迭代法求解线性系统至关重要。迭代法不仅在理论上有重要地位，而且在工程计算、科学模拟等领域有着广泛的应用。
VIP享7折，此内容立减5.97元 
