计算机图形学是信息技术领域的一个重要分支，主要研究如何在计算机中表示、操作和显示图形。在本课件“第10讲-5-2三维变换”中，我们重点关注的是三维几何变换及其矩阵表示，这是创建和操作三维模型的基础。
我们要理解三维空间中的几何变换。在三维空间中，任何点可以用三个坐标(x, y, z)来唯一表示。基底是定义空间的一组向量，例如笛卡尔坐标系的三个正交单位向量(i, j, k)。任何矢量v可以表示为基底向量的线性组合，即v = x*i + y*j + z*k。这种表示方式是三维空间线性代数的基础。
三维几何变换包括多种类型，如平移、旋转、缩放、反射和错切变换。这些变换在计算机图形学中通常用矩阵来表示，因为矩阵运算提供了方便且直观的方式来组合和应用这些变换。
1. **平移变换**：平移变换不改变物体的形状和大小，只是将物体在空间中移动。一个点P(x, y, z)经过平移(t_x, t_y, t_z)后，新位置为P'(x', y', z')，其变换公式为：
- P' = P + (t_x, t_y, t_z)
在矩阵表示中，平移变换矩阵为：
\[ PT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
平移变换通常结合齐次坐标使用，以简化矩阵运算。
2. **旋转变换**：旋转变换围绕一个轴进行，通常指定一个旋转轴和旋转角度。例如，绕Z轴旋转θ度的矩阵表示为：
\[ PR_Z(\theta) = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
对于其他轴的旋转，可以使用相似的方法或通过坐标系旋转来实现。
3. **缩放变换**：缩放变换改变物体的大小而不改变形状。相对于原点的缩放矩阵为：
\[ PS = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
如果缩放中心不是原点，需要先进行平移，然后缩放，最后再反向平移。
4. **反射变换**和**错切变换**：反射变换是对物体的镜像操作，错切变换则扭曲物体的形状。它们的矩阵表示相对复杂，但同样可以通过线性变换矩阵来实现。
在实际应用中，这些变换常常需要组合使用，例如在动画和游戏开发中，物体可能需要同时进行平移、旋转和缩放。通过矩阵的乘法，可以顺序执行这些变换，最终的变换效果是所有单个变换的累积。这就是所谓的复合变换，是计算机图形学中处理复杂运动和形变的核心工具。
三维变换是计算机图形学的基础，理解并掌握这些变换的数学原理和矩阵表示，对于设计和实现三维图形应用至关重要。通过学习这部分内容，可以为创建逼真的虚拟世界、开发先进的渲染算法和构建交互式应用程序打下坚实的基础。
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