概率论与数理统计：4_23第二节方差及常见分布的期望方差.ppt

概率论与数理统计：方差及常见分布的期望方差 概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机事件的概率和统计规律性。概率论是研究随机事件的数学理论，数理统计是研究随机事件的统计规律性。 在概率论中，数学期望是随机变量的一个重要特征，它反映了随机变量的平均值。但是，数学期望只是描述随机变量的一个方面，为了更好地描述随机变量，我们需要引入方差的概念。 方差是随机变量的一个重要特征，它反映了随机变量的离散程度。方差越大，表明随机变量的离散程度越大，反之亦然。 在实际问题中，我们经常遇到随机变量的离散问题，例如，某个工厂生产的零件的尺寸是否合格？某个射击运动员的射击水平如何？这些问题都可以用方差来解决。 本节主要介绍方差的概念和计算方法，并给出了几个实例来说明方差在实际问题中的应用。 1. 方差的概念 方差是随机变量的一个重要特征，它反映了随机变量的离散程度。设 X 是随机变量，如果 E{[X—E(X)]2} 存在，则称 E{[X—E(X)]2} 为 X 的方差，记为 D(X)。 2. 方差的计算 方差的计算有多种方法，常用的方法是使用数学期望的公式。设 X 是随机变量，则 D(X) = E{[X—E(X)]2}。 在离散型随机变量中，D(X) = ∑[xk-E(X)]2pk，k=1,2,3,…。 在连续型随机变量中，D(X) = ∫[x-E(X)]2f(x)dx。 3. 方差计算公式的证明 D(X) = E{[X-E(X)]2} = E{X2 - 2X·E(X) + [E(X)]2} = E(X2) - 2E(X)·E(X) + [E(X)]2。 4. 实例 例 1．设随机变量 X ～（0-1）分布，其概率分布为 P{X=1}= p，P{X=0}=q，0 ＜ p ＜ 1，p+q=1，求 D(X)。 解：因 E(X) = p，而 E(X2) = 12·p + 02·q = p于是 D(X) = E(X2) - [E(X)]2 = p - p2 = pq。 例 2．设随机变量 X 具有概率密度 f(x) = 2x，0＜x＜1，求 D(X)。 解：因 E(X) = ∫xf(x)dx = 2/3，而 E(X2) = ∫x2f(x)dx = 2/3于是 D(X) = E(X2) - [E(X)]2 = 2/3 - (2/3)2 = 1/18。 5. 方差在实际问题中的应用 在实际问题中，方差有很多应用，例如，评价某个工厂生产的零件的质量，评价某个射击运动员的射击水平等。 方差是随机变量的一个重要特征，它反映了随机变量的离散程度。通过学习方差的概念和计算方法，我们可以更好地理解和解决实际问题。