扩展有限元法（extended finite element method，简称XFEM）是一种近十几年来发展起来的解决传统有限元（classical finite element method，FEM）在处理不连续问题时遇到困难的数值计算方法。XFEM的核心优势在于它能够在不重新划分网格的情况下模拟裂纹面的不连续性，这一点是传统有限元方法难以做到的。
在传统的有限元方法中，遇到裂纹、开裂等不连续问题时，通常需要对裂纹尖端进行网格细化（mesh refinement），以提高计算精度。然而这种做法不仅费时费力，而且在计算过程中容易引入误差。为了解决这一问题，XFEM采用了单位分解法（partition of unity）的思想，引入了跳跃函数（jump functions）和裂尖渐进位移场函数（asymptotic crack-tip field functions），使得在有限元位移模式中可以体现裂纹的不连续性。这样，即使网格与裂纹面不重合，也能精确地模拟裂纹区域的位移和应力场。
在XFEM的理论基础上，研究者们推导出了一系列算法，用于处理断裂问题，如计算应力强度因子（Stress Intensity Factor，简称SIF）的J积分方法。应力强度因子是描述裂纹尖端应力场强度的一个关键参数，它对判断材料是否会发生断裂以及断裂扩展方向具有决定性作用。通过J积分的方法，研究者可以在XFEM框架下，对含裂纹结构进行应力分析，从而评估裂纹扩展的可能性和趋势。
在研究中，XFEM被应用于I型裂纹的计算，该类型裂纹是工程中常见的裂纹形式之一。通过XFEM的数值计算，研究者发现有限元网格不必依赖于裂纹界面，也就是说，不需要在裂纹尖端加密网格，大大简化了计算过程。研究还分析了积分区域和网格密度对SIF计算精度的影响，并指出了计算SIF的合适参数，从而验证了XFEM在模拟断裂问题方面的可靠性和准确性。
XFEM在模拟不连续性问题方面的优势，使其在岩土力学、结构工程、材料科学等领域有着广泛的应用前景。例如，它可以用来评估和分析高拱坝等大型土木工程结构在复杂载荷作用下的裂纹扩展行为，以及预测其安全性能和寿命。
除了XFEM之外，一些学者也尝试其他方法来模拟裂纹行为，比如流行的元法（meshless methods）和无网格数值流形方法（meshless numerical manifold method）等。这些方法的一个共同特点是避免了网格的使用，通过其他数学工具来模拟材料的不连续性，也为裂纹问题的数值模拟提供了新的思路。
综合上述内容，XFEM为解决工程实际中的断裂问题提供了一种有效的数值计算工具。它不仅提高了计算精度，而且简化了计算流程，为工程结构的可靠性分析和裂纹扩展预测提供了重要的技术支持。随着研究的深入和计算技术的发展，XFEM在模拟复杂裂纹问题中的应用将会越来越广泛。
