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数学极限的求法.doc
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数学极限的求法.doc
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. .
数学极限的求法
常见:夹逼准则, 无穷小量的性质,两个重要极限,等价无穷小,洛必达法则, 中
值定理, 定积分, 泰勒展开式。后四种不常见。另外求代数式极限可参见课本
P48 上。证明极限用定义证。
1:利用等价无穷小代换求极限
当 x 趋 于 0 时 等 价 , 例 如 ~ ~ ~ ~ ~
~
x
n
xaxxxxxxxxxx
n
a
1
~,~1)1(,
2
1
~cos1,~arcsin,~tan,~sin
2
当上面每个函数中的自变量 x 换成 时( ),仍有上面的等价关系
成立,例如:当 时, ~ ; ~ 。
例:求
4 3
0
3
lim
(sin )
2
x
x x
x
解:
sin
2 2
x x
4 3
0
3
lim
(sin )
2
x
x x
x
=
4 3
0
3
lim
( )
2
x
x x
x
=
4 3
3
0
lim
8
x
x x
x
=8
2:利用极限的四则运算性质求极限
进行恒等变形,例如分子分母约去趋于零但不等于零的因式;分子分母有理
化消除未定式;通分化简;化无穷多项的和(或积)为有限项。
例;求极限
(1)
2
2
1
1
lim
2 1
x
x
x x
(2)
3
1 2
lim
3
x
x
x
. .word..
. .
(3)
3
1
1 3
lim( )
1 1
x
x x
(4) 已知
1 1 1
,
1 2 2 3 ( 1)
n
x
n n
求
lim
n
n
x
解:(1)
2
2
1
1
lim
2 1
x
x
x x
=
1
( 1)( 1)
lim
( 1)(2 1)
x
x x
x x
=
1
1
lim
2 1
x
x
x
=
2
3
(2)
(2)=
3
( 1 2)( 1 2)
lim
( 3)( 1 2)
x
x x
x x
=
3
3
lim
( 3)( 1 2)
x
x
x x
=
1
4
(3)
3
1
1 3
lim( )
1 1
x
x x
=
2
3
1
2
lim
1
x
x x
x
=
2
1
( 1)( 2)
lim
( 1)( 1)
x
x x
x x x
=
2
1
2
lim
1
x
x
x x
=-1
(4) 因为
1 1 1
,
1 2 2 3 ( 1)
n
x
n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 3 3 4 4 1 1
n n n
1
1
n
所以
1
lim lim(1 ) 1
n
n n
x
n
3:利用两个重要极限公式求极限
(1)
0
sin 1
lim lim sin 1
x x
x
x
x x
(2)
1
0
1
lim(1 ) lim(1 )
x
x
x x
x e
x
例:求下列函数的极限[4]
(1)
2 3
0
lim lim cos cos cos cos
2 2 2 2
n
n n
x x x x
(2)
2
2
lim(1 )
m
m
n
m
(3)
. .word..
. .
解:(1)
2 3
cos cos cos cos
2 2 2 2
n
x x x x
=
2 3
1
sin cos cos cos cos sin
2 2 2 2 2
2 sin
2
n n
n
x x x x x
x
x
=
1
sin
2 sin
2
n
n
x
x
2 3
lim cos cos cos cos
2 2 2 2
n
n
x x x x
=
1
lim sin
2 sin
2
n
n
n
x
x
sin
=
lim 2 sin
2
n
n
n
x
x
=
sin x
x
2 3
0
lim lim cos cos cos cos
2 2 2 2
n
x n
x x x x
=
0
lim
x
sin x
x
=1
(2)
2
2
lim(1 )
m
m
n
m
=
2 2
2 2
2
( )
2
lim(1 )
m n
m
n m
m
n
m
=
2 2
2
2
( )
2
lim(1 )
m n
m
n
m
n
m
=
0
e
=1
(3)
.
4.利用两个准则求极限。
(1) 夹 逼 准 则 : 若 一 正 整 数 N, 当 n>N 时 , 有
n
x
n
y
n
z
且
lim lim ,
n n
x x
x z a
则有
lim
n
x
y a
.
利用夹逼准则求极限关键在于从
n
x
的表达式中,通常通过放大或缩小的方法找
. .word..
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wsbhm62
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